Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

10 Kapitel 1 Random Walks auf Gruppen1.3.1 Beispiel. Wir beginnen mit einem ungemischten Stapel. Ändert sich die Reihenfolgeder Karten durch einen ersten Mischvorgang von (1, . . . , n) in(n, 1, 2, . . . , n − 1), so ist π 1 = [n, 1, 2, . . . , n − 1] = [1, n, n − 1, . . . , 3, 2] Z diezugehörige Permutation. In einem zweiten Mischvorgang werde die Reihenfolgegemäß der Permutation π 2 = [3, 2, 1, 4, . . . , n] = [1, 3] Z geändert. Die Reihenfolgeder Karten nach dem zweiten Mischvorgang lautetx (2) = ( π 1 ◦ π 2 (1), . . . , π 1 ◦ π 2 (n) ) = (2, 1, n, 3, . . . , n − 1).Für die Reihenfolge der Karten nach dem zweiten Mischvorgang gilt alsox (2) ≠ (π 2 (1), . . . , π 2 (n))undx (2) ≠ (π 2 ◦ π 1 (1), . . . , π 2 ◦ π 1 (n)).Die Wahl der Permutation, nach der wir einen Kartenstapel bei einem einzelnenMischvorgang mischen, ist zufallsabhängig:1.3.2 Definition. Eine Mischmethode Q ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Qauf (S n , P(S n )).Ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell für das sukzessive Mischen einesKartenstapels nach einer festgelegten Mischmethode Q ist der Q-Random Walkauf S n (siehe Definition 1.1.1): Wollen wir einen Stapel von n Karten m-mal nachder Mischmethode Q mischen, so wählen wir zunächst eine Realisation (π 1 , . . . , π m )der Zufallsvariable (Y 1 , . . . , Y m ). Als Ergebnis des Mischvorgangs erhalten wir dieRealisation π 1 ◦ . . . ◦ π m der Zufallsvariable X m . Wir können dabei sowohl beiVorliegen eines ungemischten, als auch bei Vorliegen eines gemischten Stapels vorBeginn des Mischvorgangs, etwa gemäß der Permutation π ∈ S n , das Dirac-Maßin der Identität δ id als Anfangsverteilung wählen, denn für alle m ∈ N gilt‖δ π ∗ Q ∗(m) − U Sn ‖ = 1 ∑ ∣ ∣∣δπ∗ Q ∗(m) ({σ}) − 1 ∣2n!σ∈S n= 1 ∑ ∣ ∣∣ ∑δ π ({τ})Q ∗(m) ({τ −1 σ}) − 1 ∣2n!σ∈S n τ∈S n= 1 ∑ ∣ ∣∣Q ∗(m) ({π −1 σ}) − 1 ∣2n!σ∈S n