Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

48 Kapitel 2 Der Riffle Shufflefür alle t ∈ [0, ∞). Aus dem Identitätssatz für Potenzreihen folgt dann für allem ≥ 0n∑r=1( )A n,r n + a m − rf(r) = 0a mn nund somitn∑r=1( )n + a m − rA n,r f(r) = 0. (2.3.11)nWir definieren die Funktion g : R −→ R für x ∈ R durchg(x) def==n∑( ) n + x − rA n,r n!f(r)nr=1n∑A n,r ((x − r + 1) · . . . · (x − r + n)) f(r)r=1= A n,1 x(x + 1) · . . . · (x − 1 + n)f(1) (2.3.12)+ A n,2 (x − 1)x · . . . · (x − 2 + n)f(2).+ A n,n (x − n + 1) · . . . · (x − 1)xf(n),wobei die oben autretenden Binomialkoeffizienten an dieser Stelle für alle x ∈ Rdefiniert seien durch( xn)def=x(x − 1) · . . . · (x − n + 1).1 · 2 · . . . · nDann ist g ein relles Polynom vom Grad ≤ n. Nach (2.3.11) gilt g(a m ) = 0 für allem ≥ 0. Wegen a ≥ 2 hat g also unendlich viele Nullstellen und es folgt g = 0. Mitx = 1, . . . , n erhalten wir dann aus (2.3.12)f(1) = f(2) = . . . = f(n) = 0.Dies zeigt die Vollständigkeit von R für (P Mt ) t∈[0,∞) . Nach Lemma 2.3.2 ist R(M)also ein Markov-Prozess mit Anfangsverteilung P R(M 0) , wobei nach (2.3.8)P R(M 0) = δ 1 gilt. Da X zeitlich homogen ist, gilt dasselbe für M und somit für