Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

58 Kapitel 2 Der Riffle Shufflem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10obere 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.996 0.931 0.73252 1.000 1.000 1.000 1.000 0.924 0.614 0.334 0.167 0.085 0.043untere 1.000 1.000 1.000 0.999 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000Tabelle 2.3: Obere und untere Schranke für ‖Q ∗(m)52 − U S52 ‖ und m = 1, . . . , 10.2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den RiffleShuffleWir zeigen in diesem Abschnitt den starken Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten(( 3 2 log 2 n, 1)) n≥1 für die Familie (Q n ) n≥1 der GSR-(2, n)-Mischmethoden, wobeilog 2 den Logarithmus zur Basis 2 bezeichne. Bevor wir den Cut-Off-Effekt am Endedieses Abschnitts nachweisen können, benötigen wir einige Hilfmittel. Zunächstgeben wir eine Approximation für die in (2.2.6) bestimmte Wahrscheinlichkeit an,dass m sukzessive GSR-(2, n)-Shuffle in der Permutation π resultieren.Ist m eine beliebige Anzahl von Mischvorgängen eines Kartenstapels mit nKarten, so können wir m darstellen alsm = ⌊log 2 (n 3/2 )⌋ + jmit einer ganzen Zahl j ≥ −⌊log 2 (n 3/2 )⌋. j beschreibt also die Anzahl der Mischvorgängevor bzw. nach ⌊log 2 (n 3/2 )⌋. Wählen wir nun θ n ∈ [0, 1) mitund c def= 2 j , so erhalten wir⌊log 2 (n 3/2 )⌋ + θ n = log 2 (n 3/2 )m = ⌊log 2 (n 3/2 )⌋ + j= log 2 (n 3/2 ) − θ n + j= log 2 (n 3/2 2 j ) − θ n= log 2 (n 3/2 c) − θ n .Wir können nun eine Umparametrisierung der Anzahl der Mischvorgänge vornehmen,indem wir sie beschreiben durch die MengeZ def= {c = 2 j | j ∈ Z}.