Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

34 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle2.2.4 Lemma. Sei π ∈ S n und r ∈ N ≤n . π besitzt genau dann r aufsteigendeSequenzen, wenn π −1 r − 1 Descente hat, das heißtR(π) = r ⇐⇒ D(π −1 ) = r − 1.Beweis. Für r = 1 folgt die Behauptung direkt ausR(π) = 1 ⇐⇒ π = id ⇐⇒ D(π) = 0.Sei also r ≥ 2.” ⇒“ Wir wählen k 0, . . . , k r ∈ N mit0 = k 0 < k 1 < . . . < k r−1 < k r = nund paarweise verschiedene i 1 , . . . , i n ∈ N ≤n , so dass die r aufsteigenden Sequenzenvon π gegeben sind durch((i1 , 1)), . . . , (i k1 , k 1 ) ) , ( (i k1 +1, k 1 + 1)), . . . , (i k2 , k 2 ) ) , . . . ,((ikr−1 +1, k r−1 + 1)), . . . , (i n , n) ) .Dann gilt π(i j ) = j und π −1 (j) = i j für j = 1, . . . , n. Die Anzahl der Descente vonπ −1 ist gegeben durchD(π −1 ) = |{j ≤ n − 1 | π −1 (j) > π −1 (j + 1)}|= |{j ≤ n − 1 | i j > i j+1 }|.Aufgrund der Definition der aufsteigenden Sequenz gilt i j < i j+1 für j = k l +1, . . . , k l+1 , l = 0, . . . , r − 1 undi j > i j+1 für j = k l und l = 1, . . . , r − 1.Daraus folgt unmittelbar D(π −1 ) = r − 1.” ⇐“ Seien k 1, . . . , k r−1 ∈ N mit0 def= k 0 < k 1 < . . . < k r−1 < k rdef= n