Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende Sequenzen 43m ≥ 0. Für m ≥ 0 und r = 1, . . . , n giltP (R(X m ) = r) = P Xm ({π ∈ S n | R(π) = r})= Q ∗(m)a,n (R n,r ) (2.3.1)= A ( )n,r n + a m − r.a mn nSummieren wir (2.3.1) über r = 1, . . . , n, so erhalten wir mit m = 1 für allen, a ∈ Na n =n∑r=1( ) a + n − rA n,r . (2.3.2)nGleichung (2.3.2) ist die sogenannte Worpitzky-Identität. Nach [26] entsprechen dieA n,r dann gerade den Eulerschen Zahlen. Verschiedene Eigenschaften der EulerschenZahlen und Aussagen über ihre Verbindungen zur Wahrscheinlichkeitstheorieund Kombinatorik finden sich ferner in [7], [8], [19], [22] und [23]. Für r = 1, . . . , nerhalten wir aus der Definition der Eulerschen Zahlen die RekursionA n,r = rA n−1,r + (n + 1 − r)A n−1,r−1 ,wobei A 0,0def= 1, A n,0def= 0 und A n−1,ndef= 0.Wegen R n,1 = {id}, R n,n = {[n, n − 1, . . . , 1]} und |S n | = n! folgt unmittelbarA n,1 = A n,n = 1 undn∑A n,r = n!.r=1Aus [26] erhalten wir ferner für r = 1, . . . , n die Symmetrie-EigenschaftA n,r = A n,n−r+1 ,sowie die geschlossene Form der Eulerschen Zahlen∑r−1( ) n + 1A n,r = (−1) i (r − i) n . (2.3.3)ii=0In Tabelle 2.1 sind die Werte der Eulerschen Zahlen für 1 ≤ r ≤ n ≤ 8 aufgelistet.Die Eulerschen Zahlen besitzen neben der Verbindung zur Kombinatorik eineweitere wichtige wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation: