Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

66 Kapitel 2 Der Riffle Shuffleauftretenden Terme 1 n! A n,h+ n 2 für − n 2 + 1 ≤ h ≤ n 2 und ∑ − n 2 +1≤h≤h∗ 1 n! A n,h+ n 2 fürn → ∞ angeben.Wir beginnen mit dem Term 1 A n! n,h+ n . Das folgende Lemma entstammt [23]2(Proposition 2, Teil (ii) und (iii)). Der zweite Teil ergibt sich allerdings aus einerModifikation des dortigen Beweises von Proposition 2 (iii). Zur Vollständigkeitgeben wir die Beweise für beide Teile an.2.6.4 Lemma. Sei n ∈ N.(i) Für x > 0 und x ndef= x √ n12 + n 2 giltlimn→∞√ n121n! A n,⌊x n⌋ = φ(x) def= 1 √2πe −x2 /2 .(ii) Für − n + 1 ≤ h ≤ n mit h + n ∈ N gilt2 2 2√⎛ ( ) ⎞16n! A n,h+ n = 2πn exp ⎝− 1 2h√ ⎠2 n+ R n ,12wobei R n ∈ o ( 1n).Beweis. Seien X 1 , . . . , X n stochastisch unabhängige und identisch R(0, 1)-verteiltedefZufallsgrößen, S n = ∑ ni=1 X i und F n die Verteilungsfunktion von S n . Es giltES n = n/2 und V arS n = n/12. Wir definieren die Standardisierung von S n durchdefT n = S n − n 2√ n.12Dann gilt für die Verteilungsfunktion G n von T n und alle x ∈ R nach dem zentralenGrenzwertsatzG n (x) = F n(x√ n12 + n 2)def−→ Φ(x) =n→∞∫ x−∞1√2πe −t2 /2 dt.defzu (i): Sei x > 0 beliebig, x n = x √ n+ n, a 12 2 n = a n (x) def= x n − ⌊x n ⌋ undn ≥ x 2 /3. Dann gilt x n ≤ n. Nach Satz 2.3.1 folgt vermögeF n (x) = G n(x −n√ n122)