Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende Sequenzen 47Wir berechnen nun für t ∈ [0, ∞) und r = 1, . . . , n die regulär bedingte Verteilungvon M t gegeben R(M t ) = r. Sei π ∈ S n beliebig. Dann erhalten wir analogzur Rechnung in (2.3.7)P (M t = π, R(M t ) = r) = ∑ e −t tm m! P (X m = π, R(X m ) = r)m≥0Wegen δ r ({R(π)}) = δ Rn,r ({π}) gilt dann= ∑ m≥0e −t tm m! P (X m = π)P (R(π) = r)= δ r ({R(π)}) ∑ m≥0e −t tm m! ·P (M t = π, R(M t ) = r) = δ Rn,r ({π}) ∑ m≥0e −t tm m! ·( )1 n + a m − r.a mn n( )1 n + a m − r. (2.3.9)a mn nUnter Benutzung von (2.3.7) und (2.3.9) ergibt sichP (M t = π | R(M t ) = r) = 1A n,rδ Rn,r ({π}), (2.3.10)das heißt die regulär bedingte Verteilung von M t gegeben R(M t ) = r ist unabhängigvon t. Wir kommen nun zu dem bereits angekündigten Resultat.2.3.3 Satz. Sei n ∈ N, a ∈ N ≥2 und X = (X m ) m≥0 ein Q a,n -Random Walk. Dannist R(X) = (R(X m ) m≥0 ) eine zeitlich homogene Markov-Kette mit ZustandsraumN ≤n und Anfangsverteilung P R(X 0) = δ 1 .Beweis. Sei n ∈ N und a ∈ N ≥2 und M der oben zu X konstruierte Markov-Prozessin stetiger Zeit. Mit Lemma 2.3.2 zeigen wir, dass R(M) eine Markov-Kette mitAnfangsverteilung P R(M 0) ist. Nach (2.3.10) ist für t ∈ [0, ∞) und r = 1, . . . , n dieregulär bedingte Verteilung von M t gegeben R(M t ) = r unabhängig von t.Wir zeigen nun die Vollständigkeit von R für (P Mt ) t∈[0,∞) . Sei f ∈ B(N ≤n ) mit∫fdPR(M t) = 0 für alle t ∈ [0, ∞). Nach (2.3.7) gilt wegen der Beschränktheitvon f∫n∑ ∑( )fdP R(Mt) = e −t tm m! · An,r n + a m − rf(r)a mn nr=1 m≥0= e ∑ ( n∑ ( ) )−t t m A n,r n + a m − rf(r) = 0m! a mn nm≥0 r=1