Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.5 Obere und untere Schranke für die Totalvariation 552.6.6. Ersetzen wir dort in (2.6.20) h ∗ durch (2 m ∧ n) − n/2, so erhalten wir dieBehauptung.Für den Beweis der oberen Schranke wird eine stark stationäre Stoppzeit fürden Q n -Random Walk konstruiert. Für die allgemeine Definition der Stoppzeit undder stark stationären Stoppzeit verweisen wir auf die Abschnitte 3 und 18 in[4]. Inder Situation des Q n -Random Walks auf S n reicht die folgende Definition aus.2.5.2 Definition. Sei X = (X m ) m≥0 ein Q n -Random Walk auf einem messbarenRaum (Ω, A, P ) (mit eindeutig bestimmter stationärer Verteilung U Sn ). Einemessbare Abbildung T : Ω −→ N 0 ∪ {∞} mit {T = m} ∈ σ(X 0 , . . . , X m ) fürm ≥ 0 heißt stark stationäre Stoppzeit, wenn sie die folgenden zwei Bedingungenerfüllt:(i) P (T < ∞) = 1,(ii) P (X m = π | T = m) = U Sn ({π}) für alle m ≥ 0 und π ∈ S n .2.5.3 Bemerkung. Sei T eine stark stationäre Stoppzeit für den Q n -RandomWalk X. Dann gilt für alle m ≥ 0‖Q ∗(m)n− U Sn ‖ ≤ P (T > m).Beweis. Sei m ≥ 0 und A ⊂ S n beliebig. Dann gilt nach Definition 2.5.2 (ii)P (X m ∈ A) = P (X m ∈ A, T ≤ m) + P (X m ∈ A, T > m)Daraus folgt unmittelbar‖Q ∗(m)n= P (X m ∈ A | T ≤ m)P (T ≤ m) + P (X m ∈ A | T > m)P (T > m)= U Sn (A)(1 − P (T > m)) + P (X m ∈ A | T > m)P (T > m)= U Sn (A) + (P (X m ∈ A | T > m) − U Sn (A))P (T > m).− U Sn ‖ = ‖P Xm − U Sn ‖= supA⊂S n‖P Xm (A) − U Sn (A)‖= supA⊂S nP (T > m)|P (X m ∈ A | T > m) − U Sn (A)|≤ P (T > m).