Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 15Dieser Sachverhalt lässt sich folgendermaßen modellieren: Wir wählen zunächstein Tupel (x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, . . . , a − 1} n = N n 0,a−1 nach der Laplace-Verteilung aufN n 0,a−1. Dann zählen wir alle Nullen, Einsen, Zweien usw. in (x 1 , . . . , x n ). Fallswir j 1 Nullen, j 2 Einsen usw. erhalten haben, bilden wir a Päckchen A 1 , . . . , A amit den Karten 1 bis j 1 bzw. j 1 + 1 bis j 1 + j 2 usw. Schließlich verteilen wir dieKarten aus Päckchen A i unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge auf die Positionenin (x 1 , . . . , x n ) mit x k = i − 1.Wir verwenden hier und im folgenden Modell n-Tupel x ∈ {0, . . . , a − 1} n undnicht etwa x ∈ {1, . . . , a} n , da dies für die Darstellung unserer folgenden Ergebnissein Lemma 2.1.8, Lemma 2.1.9, Lemma 2.1.10 und Satz 2.1.11 hilfreich ist.Sei U N n0,a−1die Laplace-Verteilung auf N n 0,a−1 und x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n 0,a−1.defFür k = 1, . . . , a definieren wir j x,k = |{l | x l = k − 1}| undA x,kdef={ ( ∑k−1)j x,i + 1, . . . ,i=1k∑j x,i}.Ferner definieren wir zu x eine Permutation π x ∈ S n induktiv durch π x (1) =min A x,x1 +1 undπ x (i) = min { A x,xi +1\{π x (1), . . . , π x (i − 1)} } (2.1.1)i=1für i = 2, . . . , n. Sei X M a,n : (N n 0,a−1, P(N n 0,a−1)) −→ (S n , P(S n )) die für x ∈ N n 0,a−1durch X M a,n(x) def= π x definierte Funktion. Die Definition der Permutation π x findetsich für den Fall a = 2 in äquivalenter Form in Beispiel 4.17 in [1].Wir können nun die Maximum-Entropie-Mischmethode Q M a,n einführen, indemwir für B ∈ P(S n ) setzenQ M a,n(B) def= U N n0,a−1(X M a,n ∈ B).Dann gilt für alle π ∈ S nQ M a,n({π}) = |{x ∈ {0, . . . , a − 1}n | π x = π}|a n . (2.1.2)2.1.1 Beispiel. Ein Mischvorgang im Maximum-Entropie-Modell mit a = 2 undn = 10 zu x = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1) ∈ N 100,1 = {0, 1} 10 (siehe Abbildung 2.1).