Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

24 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle2.1.6 Lemma. Sei x ∈ N n 0,a−1. Dann gilt π −1x = π x −.Beweis. Sei x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n 0,a−1 beliebig. Wir nehmen o.B.d.A. j x,i ≠ 0für i = 1, . . . , a an. Sonst setzen wir b def= |{x 1 , . . . , x n } ∩ N 0,a−1 | und definierenx ′ = (x ′ 1, . . . , x ′ n) ∈ N n 0,b−1 durchx ′ idef= x i − ∣ ∣ { k ∈ {0, . . . , n} | k < x i , k ≠ x 1 , . . . , x n}∣ ∣ , i = 1, . . . , n.Dann gilt j x ′ ,i ≠ 0 für i = 1, . . . , b. Ferner erhalten wir A x ′ ,k = A x,lk ≠ ∅ fürdefk = 1, . . . , b, wobei l k induktiv definiert ist durch l 1 = min{i | A x,i ≠ ∅} undl kdef= min{i > l k−1 | A x,i ≠ ∅}für k = 2, . . . , b. Dann gilt π x = π x ′ wegen der Definition (2.1.1) von π x .Sei also j x,i ≠ 0 für i = 1, . . . , a. Es existieren k 0 , . . . , k a ∈ N mit0 = k 0 < k 1 < . . . < k a−1 < k a = n undA x,l+1 = {k l + 1, . . . , k l+1 }für l = 0, . . . , a − 1. Wir definieren i 1 , . . . , i n ∈ N ≤n durchi kl +1def= min{i |x i = l}, l = 0, . . . , a − 1 unddefi j = min { {i | x i = l}\{i kl +1, . . . , i j−1 } }für k l + 1 < j ≤ k l+1 und l = 0, . . . , a − 1.Wir zeigen nun mit einer Induktion π x (i j ) = j für j = 1, . . . , n. Ausi 1 = min{i | x i = 0} folgt x i1 = 0 und somitπ x (i 1 ) = min { A x,xi1 +1\{π x (1), . . . , π x (i 1 − 1)} }= min { A x,1 \{π x (1), . . . , π x (i 1 − 1)} } = min A x,1 = 1.(2.1.11)Sei m ≤ n beliebig und π x (i j ) = j für j < m. Wir zeigen π x (i m ) = m. Seil ∈ {0, . . . , a − 1}, so dass k l + 1 ≤ m ≤ k l+1 . Falls m = k l + 1, so folgt wegeni m = min{i | x i = l}