Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 59Für m = log 2 (n 3/2 c) − θ n < 0 setzen wir Q ∗(m)n= Q ∗(0)n = δ id .2.6.1 Satz. Sei n ≥ 1, c ∈ Z, m = m n,c = ⌊log 2 (n 3/2 c)⌋, π ∈ S n mit R(π) = r ≤2 m ∧ n und h n,r ∈ R gegeben durch r = n 2 + h n,r. Dann giltQ ∗(m)n ({π}) = 1 n! exp ( 1c √ n( )wobei f n ∈ Ohn,r(c und gnn ∈ O 1c n).(− h n,r + 1 )2 + f n − 124c − 1 2 2(hn,rcn) 2+ g n), (2.6.1)Beweis. Seien zunächst n ∈ N und c ∈ Z fest und r ≤ 2 m ∧ n. Wir wählenθ n ∈ [0, 1) wie oben mit m = log 2 (n 3/2 c) − θ n . Nach (2.2.6) erhalten wir zusammenmit r = n 2 + h n,r und 2 m = cn 3/2 2 −θnQ ∗(m)n ({π}) =( ) n + 2 m − R(π) 1n 2 mn= 1 ( )2 m + n − r· · · 2m + 1 − rn! 2 m 2 m= 1 ( n∑ (n! exp log 1 + i − r ))2 m i=1= 1 ( ∑n−1(n! exp log 1 + n − i − r ))2 m i=0= 1 ( ∑n−1(n! exp log 1 + (n/2) − h ))n,r − i. (2.6.2)cn 3/2 2 −θn i=0Mittels einer Taylor-Entwicklung erhalten wir für alle x ∈ (− 1 2 , 1)x − x22 + x33 − x4 ≤ log(1 + x) ≤ x − x22 + x33 . (2.6.3)Um die obige Abschätzung auf (2.6.2) anwenden zu können, müssen wir nun c ∈ Zso groß wählen, dass− 1 2 < (n/2) − h n,r − i< 1 (2.6.4)cn 3/2 2 −θnfür r = 1, . . . , n und i = 0, . . . , n − 1 gilt. Wegen θ n ∈ [0, 1) gilt∣ ∣ (n/2) − h n,r − i ∣∣∣ ∣=r − i ∣∣∣cn 3/2 2 ∣ ≤−θn cn 3/2 2 −θn2θncn 1/2 < 2cn 1/2