Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

Einleitungvii✻0.751 • • • •••0.50.25•••• • • • • • • • • • • ✲0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Abbildung 1: m ↦−→ ‖P Xm − U Sn ‖ für n = 52 und m = 1, . . . , 20.Ketten bilden. Ferner stellen wir ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell fürdas sukzessive Kartenmischen vor, das von verschiedenen Autoren zur Modellierungvon Mischvorgängen verwendet wird (siehe hierzu [1], [2], [6], [9], [14], [20]und [21]).Kapitel 2 widmet sich ausschließlich dem Riffle Shuffle und dem Nachweis desCut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle in Form des folgenden Theorems (siehe Theorem2.6.9 in Abschnitt 2.6).Theorem. Wird ein Stapel mit n Karten m n = (⌊ 3 2 log 2 n⌋ + j)-mal, j ∈ Z,j ≥ −⌊ 3 log 2 2 n⌋, nach dem Riffle Shuffle gemischt, so gilt)‖P Xmn − U Sn ‖ −→ 1 − 2Φ(− 2−jn→∞ 4 √ ,3wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei.In Kapitel 2 werden wir zunächst den Riffle Shuffle auf drei verschiedeneArten wahrscheinlichkeitstheoretisch modellieren. Diese Modelle führen schließlichzur selben Abbildung durch eine Markov-Kette bzw. einen Random WalkX = (X m ) m≥0 . Sie ermöglichen nicht nur die explizite Angabe der VerteilungenP Xm , m ≥ 0, sondern auch die der m-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten der