Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 97
Ahora debemos encontrar x e y. Tenemos x + y = w, es decir,
x + y = 5s + 5. Como mcd(1,1) = 1 y 1|(5s + 5) la ecuación tiene
infinitas soluciones. Como x = 5 e y = 5s es una solución particular,
se sigue que la solución general es dada por x = t + 5 e y = 5s − t.
Juntandoloanterior, la solución general dela ecuación 3x+3y+5z = 10
es
x = t+5, y = 5s−t, z = −3s−1,
con t, s ∈ Z. Por ejemplo, tomando t = 2 y s = −1 tenemos la
solución x = 7, y = −7 y z = 2.
Ejemplo 3.10 Uncomerciante gastó cincuentayseismil pesosentelas,
unasacuatromilcientodiez, otrasatresmilnovecientos setenta¿Cuántos
de cada cual ha comprado?
Solución. Sean x e y el número de telas a $ 4.110 y 4 3.970, respec-
tivamente. Entonces, tenemos la ecuación diofantina
4110x+3970y = 56000,
esto es, 411x+397y = 5600. Nótese que 411−397 = 14. Luego
411·400−397·400 = 5600.
Por lo tanto, la ecuación diofántina debe satisfacer z = 400 − 397t
y = −400 + 411t, para algún entero t. Para tener x e y ambos
positivos, se necesita que t = 1. Así x = 3 e y = 11. De modo que el
comerciante compró 3 telas a $ 4110 cada una y 11 telas a $ 3970 cada
una.