Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

274 Teoría de Números
Solución. Se tiene que 88 · 10 6 < (n − 2)n(n + 2) = n 3 − 4n < n 3 .
Como 440 3 < 88·10 6 < 450 3 = 91.125.000, el número n es superior o
igual a 442.
Tres números pares consecutivos terminan en una de las cinco formas
posibles: 0, 2, 4; o 2, 4, 6; o 6, 8, 0; u 8, 0, 2; y la única forma en
que el último dígito del producto sea 2 es 4, 6, 8. Resulta entonces que
los números son 444, 446, 448,cuyo producto es 88714752. Los dígitos
faltantes son, por tanto, 7, 1, 4, 7 y 5.
Problema 8.6 Determinar para cuáles números primos p se cumple
que 2 p +p 2 es primo.
Solución. Notemos que p = 2 y p = 3 producen los números 8 y 17,
compuesto en el primer caso y primo en el segundo. Basta considerar
entonces primos p > 2.
Consideremos congruencia módulo 3. Sabemos que p debe satisfacer
una y sólo una de las congruencias siguientes
p ≡ 0 (mod 3), p ≡ 1 (mod 3), p ≡ −1 (mod 3).
Claramente, el primer caso sólo se puede dar si p = 3, puesto que de
otra manera p sería un número compuesto.
Aplicando las propiedades de congruencia en cualquiera de los dos
casos restantes se obtiene que p 2 ≡ 1 (mod 3).
Por otro lado, como 2 ≡ −1 (mod 3) se obtiene 2 p ≡ (−1) p (mod 3).
Además p es impar, luego 2 p ≡ −1 (mod 3).
En resumen, 2 p ≡ −1 (mod 3) y p 2 ≡ 1 (mod 3). Aplicando las
propiedades de las congruencias con respecto a la suma se obtiene final-
mente que