Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 125
La recíproca también vale en el siguiente sentido.
Teorema 4.5 Si m 2 y para todo entero a tal que 1 a m−1
se tiene a m−1 ≡ 1 (mod m). Entonces m debe ser primo.
Demostración. Si la hipótesis vale, entonces para todo a con 1 a
m−1, se tiene que a posee un inverso módulo m, es decir, a m−2 es
un inverso para a módulo m. Además, tenemos que 1 a m − 1
y mcd(a,m) = 1. Ahora si m no es primo, entonces m = a · b, con
1 < a < m y 1 < b < m, y tenemos que mcd(a,m) = a > 1, lo cual es
una contradicción. Luego m debe ser primo.
Observación. Sea m > 0. Si ab ≡ 1 (mod m), entonces mcd(a,m) =
1 y mcd(a,m) = 1 y mcd(b,m) = 1. En efecto, si ab ≡ 1 (mod m),
entonces m(ab −1). Luego, ab−1 = m ·t para algún t. De esto, se
sigue que
ab+m(−t) = 1
de donde obtenemos que mcd(a,m) = 1 y mcd(b,m) = 1.
Si usamos el teorema anterior para chequear si p es primo, debemos
chequear que a p−1 ≡ 1 (mod p) para a = 1,2,···,p − 1. Esto es un
trabajo no trivial (por su extensión). Supongamos que tenemos 2 m−1 ≡
1 (mod m) para algún m > 2 ¿Debe ser m primo? El menor entero
compuesto m que satisface 2 m−1 ≡ 1 (mod m) es m = 341 = 11·31.
En otras palabras, 2 341−1 ≡ (mod 341), pero 341 no es primo. La
moral del asunto, es que aún cuando 2 m−1 ≡ 1 (mod m), el número m
no es necesariamente primo. Por otra parte, tomando m = 63(= 21·3),
tenemos 2 6 = 64 ≡ 1 (mod 63).