Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 275
2 p +p 2 ≡ 0 (mod 3).
Pero entonces 2 p +p 2 es siempre divisible por 3 si p > 3. Luego
el único caso es p = 3.
Problema 8.7 Determinartodoslosenteros positivos n paraloscuales
la expresión 2 n +1 es divisible por 3.
Solución. Consideremoscongruenciamódulo3. Entonces, 2 ≡ −1(mod 3)
implica que 2 n ≡ (−1) n (mod 3), luego 2 n +1 ≡ [(−1) n +1] (mod 3)
Luego, si n es impar, 2 n + 1 ≡ 0 (mod 3), es decir, 2 n + 1 es
divisible por 3 para todo n impar. Además, si n es par se obtiene que
2 n +1 ≡ 2 (mod 3). Luego 2 n +1 no es nunca divisible por 3 si n es
par.
Problema 8.8 Sean a y b números naturales tales que su máximo
común divisor es d. Probar que hay exactamente d números del con-
junto {a,2a,3a,...,(b−1)a,ba} que son divisibles por b.
Solución. Si d = mcd(a,b) entonces d|a y d|b, es decir, existen
enteros r,s tales que a = rd y b = sd, con mcd(r,s) = 1. Luego el
conjunto en cuestión puede describirse como sigue
{rd,2rd,3rd,···,(b−1)rd,brd} = {krd : k = 1,2,···,b}.
Al dividir cada número del conjunto por b = sd, se obtiene resto
cero si y solamente si s divide a k (notar que mcd(r,s) = 1). Como
b = sd, esto sucede exactamente d veces.