Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 193
Esto contradice el hecho que σ(m) = m+s. Por lo tanto, s = 1.
Tenemos así que n = 2 i (2 i+1 − 1). Ahora debemos mostrar que
2 i+1 −1 es primo. Como 1 y 2 i+1 −1 son factores distintos de 2 i+1 −1,
tenemos
2 i+1 = σ(m) = σ(2 i+1 −1) 1+(2 i+1 −1) = 2 i+1 .
Por lo tanto, σ(2 i+1 −1) = 2 i+1 , esto significa que 1 y 2 i+1 −1 son
los únicos divisores de 2 i+1 , es decir, 2 i+1 −1 es primo.
Ejemplo 4.54 Para i = 1, 2 2 −1 = 3 es primo, por lo tanto 2 1 (2 2 −
1) = 2 · 3 = 6 es perfecto. Para i = 2, el primer primo, se tiene que
2 3 − 1 = 7 es primo, luego 2 2 (2 3 − 1) = 28 es perfecto. Para i = 3,
el segundo primo se tiene que 2 4 − 1 = 15 no es primo. Para n = 4,
se tiene que 2 5 −1 = 31 es primo, luego 2 4 (2 5 −1) = 496 es perfecto.
Para n = 6, tenemos 2 7 −1 = 127 es primo, luego, 2 6 (2 7 −1) = 8128
es perfecto. El lector, puede hacer otros ejemplos.
Por el teorema 4.36 tenemos que encontrar números perfectos pares es
equivalente aencontrar primosdeMersenne, es decir, primosdela forma
2 n −1. Por otra parte, se tiene que si 2 n −1 es primo entonces n es
primo. Luego para buscar primos de Mersenne, necesitamos ver si para
n primo, el número 2 n − 1 es primo. Vamos a mostrar un resultado
que simplifica el problema de verificar si 2 n −1 es primo cuando n es
primro. Primero, mostramos el siguiente resultado.
Lema 4.7 Sean a y b enteros positivos. Entonces
mcd(2 a −1,2 b −1) = 2 mcd(a,b) −1.