Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

24 Teoría de Números
La minimalidad de d implica que s = 0, luego d|m.
Afirmación 2. Si e es un divisor común de m y n, entonces e|d.
En efecto, supongamos que e|m y e|n. Como d = am + bn se
concluye que e|d.
Laexistencia dela representación deBèzout para d es inmediata pues
d ∈ D.
Note que la clave de la prueba es la existencia de una división con
resto.
El lema de Bèzout puede ser usado para dar una generalización im-
portante de la propiedad: p|ab ⇒ p|a o p|b de los primos p.
Teorema 1.7 Si m|ab y mcd(m,b) = 1, entonces m|a.
Demostración. Escribamos ab = mn, por el lema de Bèzout, existen
x,y ∈ Z tal que mx + by = 1. Multiplicando esta igualdad por a,
obtenemos a = max+aby = max+mny = m(ax+ny), esto es, m|a.
Un ejercicio interesante consiste en probar que el máximo común di-
visor d = mcd(a,b) también es determinado por las condiciones
1. d > 0, d|a y d|b.
2. Si c|a y c|b entonces c|d.
Para probar que estas condiciones (que no usan el concepto de orden)
son equivalentes a la definición de mcd(a,b) dada anteriormente, se
aplica la propiedad (1.3) del máximo común divisor.