Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 5
Como hemos supuesto que b − na > 0 para todo entero positivo n,
se tiene que S es un conjunto no vacío de números enteros positivos.
Aplicando el Principio de Buena Ordenación se obtiene que S posee un
menorelemento. Luegoexiste m0 ∈ Z talque b−m0a b−naparatodo
n entero positivo. De esta última desigualdad se obtiene que n m0
para todo n entero positivo, lo cual evidentemente es falso, pues basta
tomar n = m0+1 > m0. Esta contradicción se obtuvo por la suposición
de que na < b para todo entero positivo n. Por lo tanto el teorema ha
sido probado.
1.1 Principio de Inducción
Aunque el Principio de Inducción (P.I.) es llamado así, es de hecho un
teorema, el cual pasamos a enunciar y probar.
Teorema 1.2 (Principio de Inducción) Sea P(n) una propiedad de
enteros no negativos n. Suponga que
(a) P(0) ( o P(1)) es verdadera, y
(b) P(n+1) es verdadera si P(n) lo es, para todo n 0 (n 1).
Entonces P(n) es verdadera para todos los enteros no negativos (po-
sitivos).
Demostración. Haremos la prueba por contradicción.
Supongamos que P(n) es falsa para algún entero no negativo n.
Por el P.B.O., existe un menor entero no negativo n tal que P(n) es
falsa, pero P(m) es verdadera para todo entero no negativo m, con
0 m < n. Como P(0) es verdadera por (a), se sigue que n > 0.