Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 207
Demostración. Sea n ∈ N un número primo. Entonces todo número
natural menor que n es coprimo con n. De donde obtenemos que,
φ(n) = n−1 si y sólo si n es primo.
A continuación veremos una manera de calcular φ(n). Empecemos
con φ(21). La cantidad de enteros positivos menores o iguales a 21
es 21. Por otro lado, sabemos que 21 posee como divisores a 1, 3,
7 y 21. Luego los múltiplos de ellos que no sobrepasan a 21 quedan
descartados. Además la cantidad de estos múltiplos puede ser calculada
de las siguiente manera. Hay tantos múltiplos de 3 como 21/3 = 7, hay
tantos múltiplos de 7 como 21/7 = 3, y así sucesivamente, es decir,
φ(21) = 21− 21
3
− 21
7
+ 21
21 ,
donde el último factor (que es 1) debe agregarse, puesto que 21 fue
sacado dos veces.
Ahora tratemos de aplicar el mismo argumento a un número natural
n = p α q β , con p y q números primos. Contemos primero los múltiplos
de p y q. Tenemos, los múltiplos de p son pα q β
p y los múltiplos de
q son pα q β
q . Pero los múltiplos de np son múltiplos de py de q simultáneamente,
de modo que están contados dos veces, por lo tanto
φ(p α q β ) = p α q β − pα q β
p − pα q β
= p α q β
= p α q β
q + pαqβ pq
1− 1
1 1
− +
p q pq
1− 1
1−
p
1
.
q
La fórmula para un número n arbitrario se obtiene a partir de la
descomposición primaria de n.