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Sergio Plaza 263 ak pk pk ck 7 3 1 3 7 22 7 22 7 15 333 106 333 106 1 355 113 35 113 292 103993 33102 103993 33102 Ahora, 103993 = 3.1415926530119026040··· y vemos que 33102 103993 33102 −π ≈ 0.57789063··· ×10−9 . El teorema 7.6 dicequeunafracción p q a π que 103993 sólo si q > 33102. 33102 puedeser mayor aproximación El próximo resultado es una especie de recíproco a los dos resultados anteriores. Éste dice que si un número racional aproxima a un número irracional x “suficientemente bien”, entonces el número racional debe ser una convergente en la expansión en fracción continuada de x. Teorema 7.7 Sea x un número irracional, y sea p un número racional, q con mcd(p,q) = 1, y q > 0. Supongamos que p x− 1 q < . 2q2 Entonces p es una convergente en la expansión en fracción continuada q para x. Demostración. Como qk k para k 0, la sucesión (qn)n∈N es una sucesión de enteros positivos estrictamente creciente.
264 Teoría de Números Por lo tanto para algún k, se tiene que qk q qk+1. Como q < qk+1, del teorema anterior obtenemos |qkx−pk| |qx −p| = q p x− q 1 1 < q = 2q2 2q . pk Luego x− 1 qk < . 2qqk Supongamos que p no es una convergente en la expansión en fracción q continuada para x. En particular, p pk = , luego qpk = pqk y |qpk − q qk pqk| es un entero positivo. Como |qpk −pqk| 1, se tiene 1 qqk 1 de donde < qqk 1 2qqk desigualdad obtenemos |qpk −pqk| qqk = < pk qk pk qk 1 2qqk = pk qk −x+x− p q −x + p x− q + 1 2q 2 + 1 , restando 2q2 1 2qqk < 1 2q 2, 1 2qqk − p q a ambos lados de esta luego q < qk. Pero hemos supuesto que qk q. Esto es una con- tradicción.
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