Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 199
fn+kn = f (k+1)n = fn−1fkn +fnfkn+1
De aquí, si fn|fk n entonces fn|f (k+1)n. Como es inmediato que
fn|fn·1 el resultado se sigue por inducción.
Problema 4.41 Sea f(n) = σ(n)−n,donde σ(n) denota la suma de
los divisores de n. Por ejemplo, f(1) = 0, f(2) = 1 + 2 − 2 = 1,
f(3) = 1+3−3 = 1, f(4) = 1+2+4−4 = 3, f(5) = 1+5−5 = 1 ,
f(6) = 1+2+3+6−6= 6, f(7) = 1, f(8) = 1+2+4+8−8 = 7,...
Note que si n es primo entonces f(n) = 1, pues los divisores de n
son 1 y n.
Para n = 8 tenemos f(8) = 7, f(7) = 1 y f(1) = 1, si n = 9,
f(9) = 1 + 3 + 9 − 9 = 4, f(4) = 3, f(3) = 1, y f(1) = 1. Para
n = 10, f(10) = 1 + 2 + 5 − 5 = 3, f(3) = 1 y f(1) = 1. Caso
n = 12, f(12) = 1+3+4+6+12−12= 14, f(14) = 1+7+14−14 =
8, f(8) = 7, f(7) = 1 y f(1) = 1. Haga más ejemplos y formule
una conjetura respecto al cálculo , n,f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),... (Si
su conjetura es la siguiente, n,f(n)),f(f(n)),f(f(f(n))),... se vuelve
periódica. Entonces a ella no se le conoce si es verdadera o falsa. Por
ejemplo, f(95) = 25, f(25) = 6, f(6) = 6, f(6) = 6,....
Problema 4.42 Sea an = 6 n + 8 n . Calcule el resto de la división de
a83 por 49.
Problema 4.43 Si 30x0y03 es divisible por 13 encuentre x e y.
Problema 4.44 Pruebe que su 9|(a 3 +b 3 +c 3 ) entonces 3|(abc), para
enteros positivos a,b,c.