Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 145
4.6.1 Orden de un Elemento
Sii mcd(a,m) = 1, entonces existe un entero positivo n tal que a n ≡
1 (mod m). Denotamos por ordm(a), al menor entero positivo n para
el cual se tiene a n ≡ 1 (mod m).
Teorema 4.15 Si mcd(a,m) = 1, entonces a n ≡ 1 (mod m) si y sólo
si ordm(a)|n. Además, a n0 ≡ a n1 (mod m) si y sólo si ordm(a)|(n0−
n1).
Demostración. Sea d = ordm(a). Es claro que si d|n entonces a n ≡
1 (mod m). Por el algoritmo de la división, existen enteros q y r tales
que n = qd+r, con 0 r < d. Luego a n ≡ (a d ) q a r ≡ a r ≡ 1(mod m).
Pero r < d, luego r = 0 y por lo tanto d|n.
La prueba de la parte restante del teorema es inmediata.
Observación. En particular, por el teorema de Euler, se tiene que
ordm(a)|φ(m).
Ejemplo 4.35 El orden de 2 (mod 101) es 100.
En efecto, sea d = ord101(2). Entonces d|φ(101), esto es, d|100.
Ahora, si d < 100 entonces d divide a 100/2 o a 100/5, esto es, d
pierde al menos un factor primo. Sin embargo,
y
2 50 ≡ 1024 5 ≡ 14 5
≡ 196·196·14
≡ (−6)(−6)·14
≡ −1 (mod 101)
2 20 ≡ 1024 2 ≡ 14 2 ≡ −6 (mod 101)