Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

208 Teoría de Números
Teorema 5.5 Si n = p α1
1 · p α2
2 ···pαr
r es la descomposición primaria
de n, entonces
φ(n) = n 1− 1
1−
p1
1
··· 1−
p2
1
.
pr
Ejemplo 5.2 Para n = 570, su descomposición primaria es dada por
n = 2·5·57. Aplicando el teorema 5.5, obtenemos
φ(570) = 570 1− 1
1−
2
1
1−
5
1
= 224,
57
es decir, existen 224 números enteros positivos menores o iguales que
570 y que son coprimos con 570.
Ejemplo 5.3 Para n = 660, su descomposición primaria es dada por
n = 2 2 ·3·5·11. Aplicando el teorema 5.5, obtenemos que
φ(660) = 660· 1− 1
1−
2
1
1−
3
1
1−
5
1
,
11
y calculando cada término se obtiene
φ(660) = 660·
1
2
2
3
4
5
10
= 160.
11
Para finalizar esta sección daremos la fórmula para un caso especial.
El método usado en la demostración es interesante de recordar.
Teorema 5.6 Si p es un primo y k es un entero positivo, entonces
φ(p k ) = p k −p k−1 .