Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

70 Teoría de Números
a) Si m = 2k es par, entonces n = m 2 = 4k 2 es divisible por 4.
b) Si m = 2l−1 esimpar,entonces n = m 2 = (2l−1) 2 = 4l 2 −4l+1 =
4(l −1)l +1.
Comoelproducto (l−1)l dedosnúmerosnaturalesconsecutivos siempre
es par, se tiene que (l−1)l = 2k, y nos queda n = 4·2k+1 = 8k+1.
Ejemplo 2.11 Enlasucesióndenúmeros 11,111,1111,...,111...1111,...
no aparece ningún cuadrado perfecto.
En efecto, tenemos que 11 = 8+3 y n = 111...1111 = 111...1000+
111 = 8l+8·13+7 = 8k+7 para n 111, esto significa que ninguno de
los números en la sucesión es de la forma 8k +1, que es una condición
necesaria para ser un cuadrado perfecto.
Ejemplo 2.12 a) n = 12 es divisible por 4, pero no es cuadrado
perfecto.
b) n = 17 = 2·8+1, es de la forma 8k+1 pero no es un cuadrado
perfecto.
Números naturales que son diferencia de dos cuadrados, es decir, n =
x 2 −y 2 , con x ∈ N, y ∈ N∪{0}. Note por ejemplo que n = 2 y n = 6
no pueden ser escritos como diferencia de dos cuadrados como arriba.
Tenemos el siguiente resulado
Teorema 2.22 Sea n ∈ N, entonces n = x 2 − y 2 para x ∈ N e
y ∈ N∪{0} si y sólo si n no es de la forma 4k +2,k ∈ N∪{0}.
Demostración. Supongamos que n = x 2 −y 2 , con x ∈ N,y ∈ N∪{0}.
Para probar que n no es de la forma 4k+2, con k ∈ N∪{0}, podemos