Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

44 Teoría de Números
tenemos que p|m o p|n, pero no a ambos; luego p no divide a m+n,
y por lo tanto m+n no puede tener divisores primos. Contradicción.
Observación. Si en la demostración anterior tomamos la factorización
D = D · 1, entonces tenemos la prueba de Euclides de la infinitud de
primos.
Prueba de Euler 1849. Esta prueba usa la función φ de Euler que
estudiaremos en un capítulo más adelante. Supongamos que existe sólo
una cantidad finita de primos, y sea D su producto. Entonces
φ(D) =
p primo
(p−1) 2·4··· > 2,
luego, debe haber un entero a en {2,...,D} coprimo con D. Este
entero a no puede tener ningún divisor primo, y por lo tanto debe ser
igual a 1, lo que contradice el hecho que a 2.
Observación. Si tomamos a = D−1, básicamente tenemos la prueba
de Euclides con N −1 en vez de la original con D −N +1.
Comoyahemosvisto, losprimerosprimosson 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ....
Denotemos por p1 al primer primo, p2 al segundo primo, p3 al tercero
y así sucesivamente. En otras palabras, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, y
pn será el n–ésimo primo. Luego, por notación, pn < pn+1. El mayor
número primo conocido hasta 1979 era 2 21.701 −1.
Teorema 2.7 Si pn denota el n–ésimo primo, entonces pn < 22n .
2 2n
Este resultado prueba que al menos hay (n+1) primos menores que
.
Demostración. Colocarla