Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

156 Teoría de Números
lo tanto el menor número de huevos que debe haber en la canasta para
cumplir las condiciones del problema es de 301 huevos.
4.9.1 Ejercicios
Problema 4.19 Pruebe que los enteros n ≡ 7 (mod 8) no pueden ser
escritos como suma de tre cuadrados.
Indicación. Escribe n = x 2 +y 2 +z 2 y consideretodas las posibilidades
mod 8.
Problema 4.20 ¿Cuales son los posibles valores de a s 3 (mod 9)?
¿Cuáles son los posibles valores de 5 3 +t 3 (mod 9)? Pruebe que existen
infinitos enteros que no pueden ser escritos como suma de dos cubos
¿Existen enteros que no pueden ser escritos como suma de tres cubos?
Problema 4.21 Sea N = dndn−1···d1d0 unentero escrito ennotación
decimal. Pruebe que N ≡ d0 (mod 2), N ≡ d1d0 (mod 4) y N ≡
d2d1d0 (mod 8).
Problema 4.22 Suponga que p es un primo impar. Pruebe que
p
p p+j
j=0
j
j
≡ 2 p +1 (mod p 2 ).
Problema 4.23 Sea n un entero positivo. Pruebe que n es primo si
y sólo si
n−1
≡ (−1)
k
k
para todo k ∈ {0,1,...,n−1}.
(mod n)