Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 233
Demostración. Supongamos que e = a
b
y sea
Entonces
θ = b|e−
0 < θ <
∞
j=1
b
j=0
b!
j! =
con a y b enteros positivos,
∞
j=b+1
b!
j!
1 1
= 1
(b+1) j b
(6.1)
Por otro lado, la expresión central de (6.1) es un entero. Luego, tene-
mos una contradicción y e es irracional.
Problema 6.1 ¿Es π e irracional? abierto.
Problema 6.2 ¿Es
∞
n=1
1
irracional?. abierto.
n5 Observación. Un número irracional elevado a un número irracional
puede ser racional. En efecto, considere x = √ 2
Pero x √ √
√2
2 2
=
√ 2
= ( √ 2) 2 = 2 es racional.
6.5 Conjunto de Cantor
√ 2 el cual es irracional.
Este es uno de los ejemplos más simples que sirven para ilustrar el
concepto de conjunto fractal. El conjunto de Cantor es obtenido con-
siderando la representación en base 3 de los números reales x, con
0 x 1, usando como conjunto de dígitos permitido para la re-
presentación el conjunto D = {0,2}, es decir, el conjunto de Cantor
está formado por todos los números reales x, con 0 x 1, tales que
en su representación en base 3 no aparece el dígito 1. Geométricamente,