Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 147
este entero por 10 d −1, entonces obtenemos un número racional,
cuya expansión decimal tiene a lo más d dígitos. Por lo tanto,
m = d.
a) Sea d = 2k. Si n/p = 0.a1a2···akak+1.
Ahora, p divide a 10 d −1 = 10 2k −1 = (10 k −1)(10 k +1). Sin
embargo, p no puede dividir a 10 k −1, pues el orden de 10 es 2k,
luego p|(10 k +1). De esto,
de donde
(10 k +1)n
p
10 k n
p
= a1a2···akak+1···a2k,
= a1a2···ak +0.a1···ak +0.ak+1···a2k
esunentero. Estopuedeocurrirsiysólosi a1a2···ak+ak+1···a2k
es un número que consiste sólo de nueves, y luego igual a 10 k −1.
4.7 Raíces Primitivas
Definición 4.2 Si el orden de un elemento a módulo m es φ(m), de-
cimos que a es una raíz primitiva módulo m.
Demostremos antes que nada el siguiente resultado.
Lema 4.1 2 2·3n−1
≡ 1+3 n (mod 3 n +1), para todo n 1.
Demostración. Claramente el resultado es verdadero para n = 1.
Asumamos que es verdadero para algún n = k. Entonces 2 2·3k−1
1+3 k +3k+1m para algún entero m, luego 22·3k = 1+3 k+1 +3k+2M para algún entero M (obtenido elevando al cubo).
Por lo tanto, 2 2·3k
del lema está completa.
≡ 1+3 k+1 (mod 3 k+2 ). Por inducción la prueba
=