Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 49
ellas. Supongamos que 2 2k+1 + n 2 − 2 k+1 n = 1. Entonces se obtiene
que n−2 k 2 +2 2k = 1, lo cual se cumple solamente si k = 0, lo cual,
a su vez, no está permitido por hipótesis.
Ejemplo 2.5 Sea n = p e1
1 pe2
2 ···pek
k la descomposición primaria de un
número natural n, entonces el número de divisores de n, incluyendo a
1 y n mismo, es igual a (e1 +1)(e2 +1)···(ek +1).
Enefecto, notemos quecadadivisorde n esdelaforma p f1
1 pf2
2 ···pfk
k ,
donde todos los f1,f2,...,fk son números naturales y satisfacen
0 f1 e1
0 f2 e2
.
0 fk ek.
En particular, 1 = p 0 1 p0 1 ···p0 k con f1 = 0, f2 = 0,...,fk = 0, y
n es el divisor de n con f1 = e1, f2 = e2, ..., fk = ek. Luego el
número de divisores de n es igual al número de elecciones de f1 multi-
plicado por el número de elecciones de f2... multiplicado por el número
de elecciones de fk. Ahora el conjunto de elecciones posibles para f1
es {0,1,2,...,e1}, y existen e1 + 1 posibilidades para elegir a f1, el
conjunto de elecciones posibles para f2 es {0,1,2,...,e2}, y existen
e2 + 1 posibilidades para elegir a f2, y así sucesivamente, el conjunto
de elecciones posibles para fk es {0,1,2,...,ek}, y existen ek+1 posi-
bilidades para elegir a fk. Por lo tanto el número de divisores de n es
(e1 +1)(e2 +1)···(ek +1).
Ejemplo 2.6 Pruebequeunnúmeronatural n esuncuadradoperfecto
si y sólo si tiene un número impar de divisores.