Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

154 Teoría de Números
Retornemos al problema de sistemas de congruencias lineales. Ten-
emos el siguiente.
Teorema 4.22 (teoremachinodelosrestos). Un sistema de congruen-
cias lineales x ≡ c1 (mod m1),...,x ≡ ck (mod mk), en el cual los
módulos m1,...,mk son coprimos a pares (es decir, mcd(mi,mj) = 1
cuando i = j) tiene solución. Además, la solución es única (mod m1 ·
m2···mk.
Demostración. Probemos primero la unicidad de la solución, bajo
el supuesto que exista. Si tenemos dos soluciones x e y, entonces
x ≡ y (mod mi) para cada i = 1,...,k, y por lo tanto, dado que los
mi son coprimos dos a dos, se tiene que x ≡ y (mod m1 ·m2···mk), y
por lo visto anteriormente, en este caso existe sólo una solución.
Veamos ahora el problema de la existencia de una tal solución.
Para cada i = 1,2,...,k sea Mi el producto de todos los módulos,
excepto mi, es decir, Mi = m1 ·m2···mi−1 ·mi+1···mk .
Es claro que Mi y mi son coprimos, luego la congruencia lineal
tiene solución.
aiMi ≡ 1 (mod mi)
Consideremos el número x dado por
x = a1M1c1 +a2M2c2 +···+akMkck.
Como Mj ≡ 0 (mod mi) cuando i = j, vemos que
x ≡ aiMici = ci (mod mi)