Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

142 Teoría de Números
Teorema 4.10 (Teorema de Wilson). Para p > 1, se tiene (p−1)! ≡
−1 (mod p) si y sólo si p es primo.
Note que el Teorema de Wilson nos da un test de primalidad; desafor-
tunadamente, la única manera conocida para calcular (n − 1)! es vía
n−2 multiplicaciones.
p−1
Teorema 4.11 Sea p un primo impar y sea a = !, entonces
2
a2 ≡ (−1) (p+1)/2 (mod p). En particular, a ≡ ±1 (mod p) si p ≡
3 (mod 4), y a 2 ≡ 1 (mod p) si p ≡ 1 (mod 4).
Demostración. Del Teorema de Wilson (p−1)! ≡ −1 (mod p); si en
el producto (p−1)! reemplazamos los elementos p+1
2
por sus negativos − p+1
2
≡ p−1
2
, − p+3
2
, p+3
2 ,...,p−1
p−3
≡ ,...,−(p − 1) ≡
2
1 (mod p), entonces hemos introducido exactamente p−1
factores
2
−1; luego (p−1)! ≡ (−1) (p−1)/2a2
p−1
(mod p) con a = !.
2
Prueba del teorema 4.9. Si p ≡ 1 (mod 4), entonces hemos cons-
truido una solución a la congruencia a 2 = −1 (mod p). Supongamos
recíprocamente queesta congruencia es soluble. Elevando ambos lados a
la potencia p−1
nos da que 1 ≡ a
2
p−1 ≡ (−1) (p−1)/2 (mod p), y como
1 = −1 (mod p) para p primo impar, se debe tener que (−1) p−1/2 = 1,
luego p ≡ 1 (mod 4).
El siguiente resultado es debido a Birkhoff, redescubierto por Aubry,
y posteriormente conocido como Teorema de Thue.
Teorema 4.12 (Birkhoff–Aubry-Thue). Dado un entero a no divis-
ible por p, entonces existen x,y ∈ Z con 0 < |x|,|y| < √ p tales que
ay ≡ x (mod p).