Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...

Sergio Plaza 141
4.6 Teorema de Fermat de los dos cuadrados
Un teorema bien conocido primero establecido por Girard, y proba-
blemente primero probado por Fermat (la primera prueba conocida es
dedebida a Euler) concerniente a primos que son suma de dos cuadros,
tales como 5 = 1 2 +2 2 y 29 = 2 2 +5 2 . La siguiente caracterización de
tales primos es una consecuencia simple de la noción de congruencia, la
recíproca es también verdadera, pero mucho más díficil de probar.
Teorema 4.8 Si un número primo p es la suma de dos cuadrados de
enteros, entonces p ≡ 1 (mod 4) o p = 2.
Demostración. Dado un número entero n, se tiene n ≡ 0 (mod 4),
n ≡ 1 (mod 4), n ≡ 2 (mod 4) y n ≡ 3 (mod 4). Luego para n 2 se
tiene n 2 ≡ 0 (mod 4) o n 2 ≡ 1 (mod 4).
Supongamos ahora que p = a 2 + b 2 . Como a 2 , b 2 ≡ 0,1(mod 4),
vemos que a 2 + b 2 debe ser congruente módulo 4 a 0 = 0 + 0, 1 =
1+0 = 0+1 o 2 = 1+1, esto es p ≡ 0, 1, 2 (mod 4). Como ningún
primo es congruente a 0 (mod 4) y como 2 es el único primo congruente
a 2 (mod 4), se sigue que p = 2 o p ≡ 1 (mod 4). Lo que completa la
prueba
Para la recíproca, necesitamos conocer cuándo −1 es un cuadrado
(mod p) para p primo. Por ejemplo −1 no es un cuadrado mod 3, 7,
u 11, y 2 2 ≡ −1 (mod 5), 5 2 ≡ −1 (mod 13). Tenemos el siguiente
resultado general.
Teorema 4.9 Sea p un primo impar; entonces la congruencia a 2 ≡
−1 (modp) tiene una solución si y sólo si p ≡ 1 (mod 4).
Para la prueba necesitamos de algunos resultados auxiliares.