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entropía Relativa mínima, Weigthed
monte carlo y cobertura de derivados
Daniel Arrieta
Espirito Santo Investment Bank
1. Introducción
el concepto de entropía surge por primera vez en Física
a mediados del siglo XIX, aunque originalmente es un
concepto de la termodinámica, se ha adaptado a muchos
campos de estudio, entre los que destaca la teoría
de la Información, Inferencia estadística, Biología, y análisis
de Datos entre otros.
Diversas metodologías basadas en la entropía han sido
aplicadas en finanzas por varios autores desde mediados
de los 90:
• Gulko (1996, 1999): valoración de bonos y opciones
de renta variable.
• Buchen y Kelly (1996): estimación de la distribución
de probabilidad implícita en los precios de opciones.
• Derman y Zou (1999): estimación del precio medio correcto
de opciones para distintos strikes en ausencia de
precios de mercado, lo que denominan Strike Adjusted
Spread o smile fair.
• avellaneda et al. (1997, 1998 y 2001): estimación de
superficies de volatilidad y valoración de derivados.
La definición de entropía que vamos a utilizar a lo largo
del artículo es la utilizada en Inferencia estadística. en
este campo la entropía cuantifica la incertidumbre de
una variable aleatoria. en concreto utilizaremos la entropía
Relativa mínima, que de ahora en adelante denotaremos
por eRm. La eRm es una metodología general que
se basa en minimizar la entropía relativa entre una distribución
de probabilidad a priori y otra a posteriori, de
modo que se satisfacen un número finito de restricciones
sobre los momentos de la distribución a posteriori.
en general, la solución es única y estable dependiendo
de la suavidad de las restricciones impuestas.
InVeStIgacIón
en este artículo, la eRm será utilizada con el objetivo de
solucionar la problemática de valoración de derivados
que implica la superficie de volatilidad. Por último, se
hará especial hincapié en las implicaciones de cobertura
que se derivan del análisis de sensibilidad de la solución
a este problema mediante eRm.
2. Superficie de Volatilidad: problemática
de valoración
Hasta 1987 la metodología de valoración de derivados
propuesta por Black, scholes y merton 1 en 1973, era
aceptada y aplicada mayoritariamente por la industria financiera.
el lunes 19 de octubre de 1987 el índice Dow
Jones Industrial Average tuvo una rentabilidad negativa
del 22.61% 2 , evento cuya probabilidad según una ley
gaussiana es de una cada millón de días. esto evidenciaba
que una de las hipótesis fundamentales de la metodología
Bsm, la del modelo para la evolución del
Fuente: elaboración propia.
Figura 1. Smile de Volatilidad
análisis afi - 2º semestre 2012 | 47