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InVeStIgacIón
mercado, para la referencia con flujo descontado
asociado a la trayectoria ω i igual a h i, venga dado por
Donde las pi denotan las probabilidades a posteriori. asimismo
vamos a denotar las probabilidades a priori por
q i, que en el caso del monte carlo estándar con n simulaciones
son
Denotaremos por C j el valor de mercado 9 de la referencia
j-ésima, y por m el número total de referencias. asimismo,
g i,j denota el flujo descontado en la trayectoria i para
el instrumento j, g j el vector columna de flujos descontados
del instrumento j-ésimo y por G={g i,j,i=1,…,n,j=1,…,m}
la matriz donde la columna j-ésima es g j. Los vectores
de probabilidades a priori y posteriori serán q y p respectivamente.
La relación entre las referencias y el vector
de probabilidades a posteriori es
siendo E p el operador esperanza tomado sobre la medida
de probabilidad p.
el vector de probabilidades p=(p1,p2,…,pn) es el que hay
que determinar. el sistema admite infinitas soluciones
puesto que el número de trayectorias n es mayor que el
número de restricciones m.
el criterio que se va seguir en la estimación de p es minimizar
la entropía relativa entre la distribución a posteriori
y la a priori, sujeta a una serie de restricciones en los
momentos a posteriori. el desarrollo teórico de esta técnica
para el caso aquí descrito se detalla en el anexo.
una vez aplicada la metodología eRm, las nuevas probabilidades
verificarán que:
i. Los precios de las referencias, esto es sus esperanzas
descontadas, coinciden exactamente con sus precios
de mercado;
ii. son lo más cercanas posible a 1/n, esto es, su entropía
relativa es mínima respecto de la distribución a priori;
Para finalizar este apartado es importante notar que la
selección de las referencias de mercado es un paso fundamental
de la metodología que depende del usuario de
la misma. a lo largo del artículo veremos cómo las propiedades
de cobertura de esta metodología nos dan pistas
objetivas de cómo realizar esta selección.
50 | análisis afi - 2º semestre 2012
(2)
Distribución a posteriori: utilización e implicaciones
de cobertura
una vez obtenido el vector de probabilidades
p=(p 1,p 2,…,p n), y en consecuencia el valorador Risk-
Neutral, es posible utilizar p para valorar cualquier otro
derivado emitido sobre el mismo subyacente y cuyo payoff
se calculable dadas las trayectorias simuladas por
monte carlo. Denotaremos por Π T el precio o valor actual
de un instrumento T=(t 1,t 2,…,t n), cuya componente i-ésima
t i es el flujo descontado asociado a la trayectoria ω i,
entonces dicho precio viene dado por
Debido a las propiedades de la metodología eRm 10 (3)
se puede expresar como
Dónde β 0 se obtiene de
y el vector de coeficientes viene dado por
siendo covp el operador covarianza tomado sobre p. Recordemos
que G es la matriz cuyas columnas son las g j,
esto es, cada columna contiene los payoffs descontados
de los instrumentos de mercado impuestos como restricciones
en el método eRm, y por tanto sus precios
son exactamente los de mercado.
Por otra parte, la obtención de β 0 y β mediante (5) y (6)
se puede interpretar como que se está descomponiendo
T en las funciones base g j, siendo lineal la relación entre
T y las funciones g j, esto es una regresión lineal múltiple
bajo la medida de probabilidad p. Lo que permite
escribir la relación
Donde ε i denota el error o diferencia entre la combinación
lineal de las g j y la función T para la trayectoria ω i
bajo la distribución de probabilidad p.
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