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InVeStIgacIón
piedad teórica de los modelos de valoración de derivados
sine qua non el modelo no es libre de arbitraje. además
de los futuros se han de incluir otros derivados de
los que se disponga tanto en mercado organizado como
en mercados otc, que se crea que pueden ayudar a cubrir
el derivado objetivo. Pero esta selección no está objetivada
y se ha de basar en la experiencia del usuario
de la metodología, en procesos de prueba y error, etc.
De estas dos últimas consideraciones se pueden extraer
futuras líneas de investigación: la primera, la de modelización
de la distribución a priori ya está siendo abordada
por diversos autores; la segunda, que es mucho más
característica para la metodología eRm aquí expuesta,
es la de objetivar un método robusto para la selección
de las referencias de mercado en función de la información
disponible y de las características concretas del derivado
objetivo T.
anexo
ERM con restricciones en los momentos
Caso General
el punto de partida es la búsqueda de una distribución
de probabilidad f(x), para una variable real x, que satisfaga
Donde gj(x) y Cj son funciones y números dados respectivamente,
y m denota el número de restricciones.
Financieramente vamos definir x como la variable estado
de la economía, g j(x) será el valor actual del instrumento
j-ésimo para el estado x y C j será su precio actual de
mercado.
el método 12 escogido para calcular f(x) va ser minimizar
el funcional
Donde f 0(x) es la densidad de probabilidad a priori. La
expresión H es la entropía relativa de f(x) respecto de
f 0(x), representa la distancia en información entre ambas
distribuciones. no es una distancia en sentido matemático
estricto puesto que no es simétrica, indica la diferencia
de información que hay al pasar de la densidad de
probabilidad f 0(x) a f(x).
52 | análisis afi - 2º semestre 2012
es sabido 13 que si existe una función de densidad de
probabilidad f(x) que verifique todas las restricciones de
(a.1) y tal que su H(f(x)∕f 0(x)) sea finito la solución del
problema de minimización de la entropía con restricciones
existe, y puede ser hallada mediante el método de
los multiplicadores de Lagrange
en primer lugar fijamos λ y buscamos la densidad que
maximiza el lagrangiano, el cálculo de las primeras condiciones
de óptimo, esto es, gradiente nulo, da lugar a
que para cada λ la función de densidad óptima viene
dada por
Donde Z(λ) denota el factor de normalización, cuya expresión
es
substituyendo (a.4) en (a.3) se sigue que la optimización
del lagrangiano es equivalente a minimizar la expresión
(a.1) (a.5)
(a.2)
sobre el espacio de multiplicadores de Lagrange
Λ=(λ 1,λ2,…,λm). La condición de primer orden de mínimo
para el componente j-ésimo del gradiente de (a.5)
y como
La condición de primer orden es lo mismo que
(a.3)
(a.4)
esto verifica, como no podía ser de otro modo, que en el
punto crítico de (a.5) la densidad f(x) está ajustada a las
restricciones.