martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Comme M converge dans L 1 , c’est une suite de Cauchy et ∀ε > 0, il existe n assez grand
pour que E[|M n+m − M n |] ≤ ε pour tout m que l’on peut donc faire tendre vers l’infini :
P{max
k,l≥0 |M n+k − M n+l | ≥ 2λ} = P{max
i,j≥n |M i − M j | ≥ 2λ} ≤ 1 λ E[|M ∞ − M n |] ≤ ε λ ,
ce qui montre que la suite indexée en n décroissante (positive donc convergente presque
sûrement) max i,j≥n |M i − M j | converge en probabilité vers 0 lorsque n tend vers l’infini,
donc presque sûrement vers 0.
On avait déjà la convergence presque sûre de A n vers A ∞ : (X 2 n, n ∈ N) converge
presque sûrement vers X 2 ∞ dont on savait déjà que c’est un élément de L 1 .
(ii) On suppose que X est une martingale positive alors e −X est une sous martingale
positive bornée par 1, donc par (i) e −Xn converge presque sûrement, son log aussi et donc
X n converge presque sûrement. Puis, par le lemme de Fatou
E[lim inf
n
X n] ≤ lim inf
n
E[X n] ≤ lim sup
n
E[X n ] ≤ E[lim sup X n ]
n
et donc puisque presque sûrement lim inf n X n = lim sup n X n = X ∞ , E[X ∞ ] = E[X 0 ] < ∞.
(iii) On suppose X martingale bornée dans L 1 . On utilise la décomposition de Krickeberg
: X n = Y n − Z n , Y et Z sont des martingales positives, par (ii) elles convergent
presque sûrement vers Y ∞ , Z ∞ ∈ L 1 : donc X converge presque sûrement vers
X ∞ = Y ∞ − Z ∞ ∈ L 1 .
(iv) On suppose la sous-martingale bornée dans L 1 . On utilise la décomposition de
Doob : X n = M n + A n , E(A n ) = E(X n ) − E(M 0 ) ≤ sup n E[|X n |] − E(M 0 ). Donc A ∞ est
intégrable et A converge presque sûrement et dans L 1 .
Par ailleurs, |M n | ≤ |X n | + A n donc M est une martingale bornée dans L 1 donc par (iii)
converge presque sûrement vers M ∞ ∈ L 1 , d’où le résultat pour X.
(v) Si X est une sous martingale telle que sup n E[X n + ] < ∞, |X| = −X + 2X + ,
E[|X n |] = 2E[X n + ] − E[X n ] ≤ 2 sup n E[X n + ] − E[X 0 ], et on est ramené à (iv). •
Corollaire 1.24 Une sous-martingale majorée (sur-martingale minorée) converge presque
sûrement vers une variable intégrable.
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