martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Preuve : (i) Si x est récurrent, on est P x presque sûrement dans R x . Si on est de
plus sur {T y < ∞}, il existe k tel que Tx
k−1 < T y < Tx k . Alors, sur cet ensemble, on a
Tx k = T y + T x ◦ θ Ty c’est à dire le premier instant après T y où on passe en x.
Ceci montre l’inclusion P x presque sûre :
{T y < ∞} ∩ R x ⊂ {T y < ∞} ∩ {T x ◦ θ Ty < ∞}
On intègre cette inclusion sous P x et on utilise la propriété de Markov :
0 < P x {T y < ∞} = P x ({T y < ∞} ∩ R x ) ≤ P x ({T y < ∞} ∩ {T x ◦ θ Ty < ∞})
donc P y (T x < ∞) = 1 : y conduit à x.
= P x {T y < ∞}P y {T x < ∞}
(ii) Par ailleurs, x récurrent et P x (T y < ∞) > 0 implique P x (T y < ∞) = 1 grâce à
la proposition 2.17.
Enfin, on déduit de l’inclusion
{T x < ∞} ∩ {T y ◦ θ Tx < ∞} ⊂ {T y < ∞}
toujours de la même façon en intégrant cette inclusion sous P y
P y ({T x < ∞}) × P x ({T y < ∞}) ≤ P y ({T y < ∞}),
donc que y est récurrent puisque le produit à gauche est 1.
•
Corollaire 2.23 Si x est récurrent et si h est une fonction invariante (ou excessive)
alors h(X n ) = h(x), P x presque sûrement.
Preuve : On a vu que (h(X n ), n ∈ N) est une P x -(sur)martingale, positive, donc elle
converge presque sûrement.
Par ailleurs, P x (lim{X n = x}) = 1, puisque x est récurrent : la chaine passe infiniment
souvent en x. Donc, il existe une suite extraite telle que X ni = x, donc une suite
extraite de (h(X n )) est constante et égale à h(x) et la limite presque sûre de (h(X n )) est
nécessairement h(x).
Soit y une valeur prise par la suite (X n ) partant de x, c’est à dire que x conduit à
y. D’après la proposition 2.22 y est alors aussi récurrent et d’après la proposition 2.17,
puisque P x (T y < ∞) > 0, P x (T y < ∞) = 1. Puisque y est récurrent, il existe une suite
extraite telle que X ni = y, donc une suite extraite de (h(X n )) est constante et égale à
h(y) et la limite presque sûre de (h(X n )) devrait être aussi h(y). A cause de l’unicité de
la limite, on a h(x) = h(y) pour tout y auquel conduit x, donc h(X n ) est constante et
égale à h(x) lorsque l’on part de x récurrent.
•
Soit E un ensemble dénombrable et a un point récurrent de E. Soit C l’ensemble
des points auxquels conduit a.
D’après la proposition précédente, tous les points de C sont aussi récurrents et ne conduisent
qu’à des éléments de C.
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