martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

en utilisant à gauche la loi du p + 1-uplet (X n , · · · , X n+p ) et la loi de X n à droite.
Ainsi la loi conditionnelle de X n+1 sachant tout le passé est Q(X n , .) et plus généralement
la loi conditionnelle de (X n+1 , · · · , X n+p ) sachant tout le passé est Q ⊗p (X n , .) : c’est aussi
sa loi conditionnelle sachant X n .
Pour avoir maintenant la loi conditionnelle de X n+p sachant X 0 , · · · , X n , on applique
le résultat précédent à une fonction uniquement de X n+p :
∫
E[f(X n+p )/X 0 , · · · , X n )] = f(x p )Q(x p−1 , dx p ) · · · Q(x 1 , dx 2 )Q(X n , dx 1 )
E p
que l’on note Q ⊗p f(X n ), c’est à dire que Q ⊗p est défini par
∫
Q ⊗p (x, B) =
E
∫
∫
Q(x, dx 1 ) Q(x 1 , dx 2 )... Q(x p−1 , dx p ).
E
B
Proposition 2.5 Soit une chaîne de Markov (X n , n ∈ N) homogène de loi initiale ν et
de transition Q. La loi de (X 0 , · · · , X p ) est donnée ∀p ≥ 0 par
∫
E[f(X 0 , · · · , X p )] =
E
∫
∫
ν(dx 0 ) Q(x 0 , dx 1 )... Q(x p−1 , dx p )f(x 0 , x 1 , · · · , x p ) =
E
E
∫
= ν(dx 0 )Q ⊗p (x 0 ; dx 1 , · · · , dx p )f(x 0 , x 1 , · · · , x p ).
E p
Ceci s’écrit facilement dans le cas dénombrable :
E[f(X 0 , · · · , X p )] =
∑
x i ∈E,i=0,···,p
f(x 0 , · · · , x p )Q(x p−1 , x p ) · · · Q(x 0 , x 1 )ν(x 0 ).
Preuve : on applique la proposition 2.4 avec n = 0 ; on obtient
∫
E[f(X 0 , · · · , X p )/F 0 ] =
E
∫
∫
Q(X 0 , dx 1 ) Q(x 1 , dx 2 )... Q(x p−1 , dx p )f(X 0 , x 1 , · · · , x p )
E
E
qui est une fonction de X 0 variable aléatoire de loi ν ; puis on intègre sur E en ν :
∫
E[f(X 0 , · · · , X p )] =
E
ν(dx 0 )Q ⊗p (x 0 , dx 1 · · · dx p )f(x 0 , x 1 , · · · , x p ).
Corollaire 2.6 Lorsque f ne dépend que d’une variable, on obtient par intégration sous
la loi ν
∫
E[f(X p )] = f(x p )Q ⊗p (x 0 , dx 1 · · · dx p )ν(dx 0 ).
E p
•
•
27