martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

∃x tel que µ(x) = 0 implique µ(y) = 0, ∀y.
∃x tel que µ(x) < ∞ implique µ(y) < ∞, ∀y.
∃x tel que µ(x) > 0 implique µ(y) > 0, ∀y.
Preuve : Puisque la chaîne est irréductible, U(y, x) > 0 pour x ≠ y : ∃n, Q n (y, x) > 0.
Comme µ ≥ µQ n , µ(x) ≥ ∑ z µ(z)Q n (z, x) ≥ µ(y)Q ⊗n (y, x).
Ainsi, µ(x) = 0 ⇒ µ(y) = 0, µ(x) < ∞ ⇒ µ(y) < ∞.
S’il existe x avec µ(x) > 0, supposons qu’il existe y, µ(y) = 0. Alors tous les points sont
de mesure nulle, d’où la contradiction : ou ils sont tous de mesure > 0 ou tous de mesure
nulle.
•
Théorème 2.38 QC7
Soit X une chaîne irréductible récurrente. Alors X possède une mesure invariante unique
à un coefficient multiplicatif près.
Cette mesure vérifie ∀y ∈ E, µ(y) ∈ R + ∗ et pour x ∈ E, la mesure unique µ x telle que
µ x (x) = 1 est donnée par
T∑
x−1
µ x (y) = E x [ 1 {y} (X k )].
k=0
De plus, µ x est telle que µ x (E) = E x (T x ) ∈ R + .
Preuve : (i) On définit une mesure ν x (y) = E x [ ∑ T x
k=1 1 {y}(X k )] et pour f mesurable
positive, µ x (f) = E x [ ∑ T x−1
k=0 f(X k)] et ν x (f) = E x [ ∑ T x
k=1 f(X k)]. Par ailleurs, µ x (x) =
ν x (x) = 1, µ x (E) = E x (T x ) = ν x (E). De fait, µ x = ν x .
. µ x est invariante
T∑
x−1
µ x Q(f) = µ x (Qf) = E x [ Qf(X k )] = ∑ E x [1 k