martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Lemme 1.33 Soit X une sous martingale positive renversée, alors
∀λ > 0, λP{sup X k ≥ λ} ≤ E(X n ).
k≥n
Preuve : On pose Xn ∗ = sup k≥n X k , et T = sup{k : X k ≥ λ}, + ∞ si cet ensemble est
vide. Les événements {T ≥ n} et {Xn ∗ ≥ λ} sont égaux et appartiennent à la tribu F n
puisqu’ils ne dépendent que du futur.
Par ailleurs,
N∑
N∑
∀N, X T ∧N 1 {N≥T ≥n} = X k 1 {T =k} ≤ E(X n /F k )1 {T =k}
k=n
k=n
≤ ∑ k≤n
E[X n 1 {T =k} /F k ]
puisque si k ≥ n, X k ≤ E(X n /F k ) et {T = k} = {X k ≥ λ, X j < λ, ∀j > k} ∈ F k . De plus
la dernière expression est d’espérance E[X n 1 {T ≥n} .
Ainsi, la famille (X T ∧N 1 {N≥T ≥n} , N ≥ n) est uniformément bornée dans L 1 .
Si N tend vers l’infini, X T ∧N 1 {N≥T ≥n} converge presque sûrement vers X T 1 {T ≥n} ≥ λ, et
le théorème de Lebesgue de convergence dominée montre alors que
λP(T ≥ n) ≤ E[X T 1 {T ≥n} ] ≤ E[X n 1 {T ≥n} ]
d’où le résultat.
•
On peut montrer la convergence suivante.
Théorème 1.34 Soit (X n , n ∈ N) une F-(sous)martingale renversée bornée dans L 1 (Ω, A, P).
Alors la suite X converge presque sûrement et dans L 1 (Ω, A, P) vers X ∞ ≤ E(X 0 /F ∞ )
pour une sous-martingale, avec l’égalité pour une martingale.
Preuve : à rédiger comme pb 1 ?
La preuve de la convergence presque sûre est longue et compliquée comme celle du
théorème 1.22, on l’admet dans un premier temps et alors l’uniforme intégrabilité montre
la convergence L 1 .
Pour la convergence presque sûre, reprenons les différentes étapes du théorème 1.22.
(i) X sous-martingale positive renversée bornée dans L 2 . On se sert du lemme 1.33 et d
ela décomposition de Doob.
(ii) X martingale positive
(iii) X martingale renversée bornée dans L 1 .
(iv) X sous-martingale renversée bornée dans L 1 .
Exemple d’application : la loi des grands nombres. Soit une suite Z de
variables aléatoires indépendantes intégrables de même loi et S n = Z 1+···+Z n
et F
n n =
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