martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

3. Or, X T = 0 ou X T = b. D’une part r a = P(ruine) + r b P(gain) et d’autre part
P(ruine) + P(gain) = 1. Soit
P(gain) = ra − 1
r b − 1 , P(ruine) = rb − r a
r b − 1 .
4. Enfin, par l’identité de Wald, E(U T ) = (2p − 1)E(T ), où U n = Y 1 + · · · + Y n ,
E(U T ) = −aP(ruine) + (b − a)P(gain) d’où l’on tire E(T ) = b(1−ra )−a(1−r b )
(2p−1)(1−r b )
. •
Le théorème suivant permet de s’affranchir de l’hypothèse que les temps d’arrêt sont
presque sûrement bornés.
Théorème 1.16 de DOOB QC2
Soit (X n , n ∈ N) une F-martingale et S et T deux F-temps d’arrêt tels que :
(i) E[|X S |] et E[|X T |] sont finies,
(ii) lim n→+∞
∫
{T >n} |X n|dP = lim n→+∞
∫{S>n} |X n|dP = 0,
(iii) S ≤ T < ∞ presque sûrement.
Alors E[X T /F S ] = X S .
Preuve : Soit A ∈ F S et n entier.
On calcule E[X T ∧n 1 A ] = E[X T ∧n 1 A∩S≤n ] + E[X T ∧n 1 A∩S>n ].
L’événement A ∩ (S ≤ n ∈ F S ∩ F n = F S∧n et S ∧ n ≤ T ∧ n montrent que
E[X T ∧n /F S∧n = X S∧n
parce qu’il s’agit d’une martingale (conséquence du téorème 1.12 1.).
Pour le second terme, S > n implique que T > n, et donc ce terme est E[X n 1 A∩S>n ]. Au
total,
E[X T ∧n 1 A ]E[X S 1 A∩S≤n ] + E[X n 1 A∩S>n ] = E[X S∧n 1 A ].
Puis on fait tendre n vers l’infini dans cette égalité : pour le premier terme, on applique
le théorème de convergence dominée avec l’hypothèse (i) puisque |X S 1 A∩S≤n | ≤ |X S |, et
on utilise le (ii) pour faire tendre vers 0 le second terme.
On fait de même pour
E[X T 1 A∩T ≤n ] + E[X n 1 A∩T >n ] = E[X T.∧n 1 A ].
Rappel : on dit qu’une famille de v.a. (X α , α ∈ I) est uniformément intégrable (ou
équi-intégrable) si
∫
lim sup |X α |dP = 0
n→∞ α {|X α|≥n}
ce qui équivaut à
∫
sup α E[|X α |] < +∞ ; ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀A ∈ A : P(A) ≤ δ,
9
A
|X α |dP < ε.
•