martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

(c’est le pus long)
(iii)L est stable par limite croissante (Tonelli)
Conclusion : L est l’ensemble de toutes les variables aléatoires boréliennes bornées et X
est un Markov fort.
•
Notation Soit T : Ω → R + ; ω ↦→ inf{t > 0, X t (ω) ≠ X 0 (ω)}.
Proposition 3.20 Soit (X t , t ≥ 0) un processus stochastique à valeurs dans E, càd, T
est un F X -temps d’arrêt.
Preuve : On remarque que {ω : T (ω) > t} = {ω : X u (ω) = X 0 (ω) ∀u ≤ t}. Comme X
est cà d, cet événement est ∩ tn≤t,tn∈Q{X tn )X 0 } qui est bien dans F t .
•
Théorème 3.21 Soit (X t , t ≥ 0) un processus stochastique càd, à valeurs dans E discret
contenu dans R, de Markov, homogène et tel que X t − X 0 est indépendant de X 0 . Alors
(i)) T = inf{t > 0, X t ≠ X 0 } suit une loi exponentielle.
(ii) T et X T − X 0 sont deux variables aléatoires indépendantes.
Preuve :les hypothèses donnent que T est indépendant de X 0
(i) Soit F : t ↦→ P(T ≥ t), on a F (0) = 1, X càd entraine que F l’est aussi. De plus
F (s + t) = P(T > s + t) = P(T > s et T ◦ θ s > t) car sur (T > s), X s = X 0 et
T ◦ θ s > t = inf{u > 0, X s+u ≠ X s = X 0 } et réciproquement.
Donc par la propriété de Markov
F (t + s) = E[1 T >s 1 T >t ◦ θ s ] = F (s)F (t)
puisque P(T > t/X 0 = x) = P(T > t) par l’indépendance. Et on peut conclure (i).
(ii) P(T > t, X T − X 0 = x) = E[1 T >t E[1 XT −X 0 =x/F t ]] qui par la propriété de Markov est
E[1 T >t P Xt {X T − X 0 = x}]. Or sur (T > t), on a X t = X 0 et donc P(T > t, X T − X 0 =
x) = F (t)P X0 {X T − X 0 = x}
•
58