martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

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Le deuxième terme est négatif par (iii) et le dernier se majore par (ii) et (iii) : E[(Z n+1 − z ∗ ) 2 /F n ] ≤ (Z n − z ∗ ) 2 + γ 2 n2c(1 + Z 2 n). Soit une majoration de la forme (Z n −z ∗ ) 2 (1+αγ 2 n)+γ 2 nβ avec α = 4c et β = 2c(1+2(z ∗ ) 2 ). Deuxième étape : on pose u n = Π n−1 k=1 (1 + αγ2 k), suite convergente puisque la série ∑ n γn 2 converge ; et v n = ∑ n−1 βγk 2 k=1 u k+1 qui converge aussi puisque u k+1 ≥ 1 et la série ∑ n γn 2 converge. On définit la suite de variables aléatoires X n = (Zn−z∗ ) 2 u n − v n , soit (Z n − z ∗ ) 2 = u n (X n +v n ). On vérifie que X est une surmartingale : X n est F n -mesurable par définition et intégrable puisque Z n est de carré intégrable ; et E[X n+1 /F n ] = 1 u n+1 [E[(Z n+1 −z ∗ ) 2 /F n ]−v n+1 ≤ 1 u n+1 [(Z n −z ∗ ) 2 (1+αγ 2 n)+γ 2 nβ]−v n+1 = X n . De plus, elle est minorée par la suite convergente (−v n , n ∈ N) donc la suite X converge presque sûrement. Troisième étape : ainsi, la suite ((Z n − z ∗ ) 2 , n ∈ N) converge vers (Z ∞ − z ∗ ) 2 . On reprend l’équation (1) en gardant le deuxième terme négatif que l’on passe à gauche et il vient : 0 ≤ 2γ n (z ∗ − Z n )h(Z n ) ≤ (Z n − z ∗ ) 2 (1 + αγ 2 n) + γ 2 nβ − E[(Z n+1 − z ∗ ) 2 /F n ] que l’on réexprime avec les suites (u n ) et (v n ) : 0 ≤ 2γ n (z ∗ − Z n )h(Z n ) ≤ u n (X n + v n ) u n+1 u n + βγ 2 n − u n+1 (E[X n+1 /F n ] + v n+1 ) ce qui permet d’obtenir à droite la majoration u n+1 (X n − E[X n+1 /F n ]). Ces termes sont tous positifs, on montre que la série associée est convergente, car le terme général de la série des espérances est u n+1 (E[X n ] − E[X n+1 ]) qui est convergente puisque E(X n ) est une suite décroissante et u n est une suite convergente. N∑ N∑ u n+1 (E(X n ) − E(X n+1 )) = (u n+1 − u n )E(X n ) + u 0 e(X 0 ) − u n+1 E(X N ). n=0 n=0 Donc la série de terme général γ n (z ∗ −Z n )h(Z n ) est aussi convergente dans L 1 (convergence monotone vers quelque chose d’intégrable). La divergence de la série de terme général γ n et l’unicité du zéro de h permet alors de conclure. Exercice : On applique ce théorème au dosage avec h(z) = a − f(z), • 20
ε n+1 = f(Z n ) − F (Z n , η n+1 ), la suite γ n du théorème et on suppose (i) |f(z)| 2 ≤ c(1 + |z| 2 (ii)E(F (z, η) 2 ) ≤ c(1 + |z| 2 ) Vérifier les hypothèses du théorème de R.M. en exercice et conclure. 21
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