martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Preuve : Comme dans la preuve de la proposition 2.5, on montre avec f = 1 B et p = 0,
∫
∫
Q(x, dx 1 )
P x (X n ∈ B) = P ν (X n ∈ B/X 0 = x) =
∫
Q(x 1 , dx 2 ) · · · Q(x n−1 , dx n )1 B (x n ) = Q ⊗n (x, E n−1 × B).
•
Proposition 2.8 Soit ν une loi initiale et B ∈ A. Alors, P ν (B) = ∫ E P x(B)ν(dx). De
même, pour toute Z A-mesurable et positive ou P ν -intégrable, E ν (Z) = ∫ E E x(Z)ν(dx).
Preuve : en exercice
Il suffit de le montrer pour les événements B ∈ I. Comme dans la preuve de la proposition
2.5, avec f = 1 Πi B i
, on obtient
P x (B) = E[f(X 0 , · · · , X n )/X 0 = x] = 1 B0 (x)Q ⊗n (x, Π n i=1B i ),
que l’on intègre sur E par rapport à la mesure ν d’où P ν (B) = ∫ E P x(B)ν(dx).
On passe aux événements de la tribu cylindrique, puis à Z A-mesurable et positive ou
bornée par le théorème de la classe monotone :
. pour les événements, soit B ∈ I ⊂ A donc de la forme
B = {ω : (X 0 , · · · , X n )(ω) ∈ Π n 0B i , B i ∈ E.
Soit F l’ensemble des B ∈ A tels que P ν (B) = ∫ E P x(B)ν(dx). On a l’inclusion I ⊂ F,
cette classe F est stable par réunion croissante et par différence, Ω ∈ F , donc F contient
σ(I) = A.
. pour les variables A-mesurables bornées, soit F l’ensemble de celles telles que
E ν (Z) = ∫ E E x(Z)ν(dx). Cet ensemble contient les indicatrices des événements de A
d’après l’alinea précédent ; c’est un espace vectoriel stable par limite croissante, donc il
contient toutes les variables A-mesurables bornées.
Toute variable positive Z = lim n Z ∧ n, la propriété est vraie ∀n pour Z ∧ n, et par limite
monotone la propriété est vraie pour Z.
Enfin, on montre la propriété pour Z intégrable en décomposant Z en Z + − Z − . •
2.7 Propriété de Markov
Soit donc Ω = E N sur lequel on définit l’opérateur de translation θ : Ω → Ω, ω = (ω n ) ↦→
(ω n+1 ). On a donc X n ◦ θ = X n+1 , ∀n ≥ 0. Si l’on compose p fois l’opérateur θ noté θ p il
vient :
X n ◦ θ p = X n+p .
Si T est une variable aléatoire à valeurs entières, on définit de la même manière θ T par :
X n ◦ θ T (ω) = X n+T (ω) (ω).
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