martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Lemme 3.34 Soit (U 1 , · · · , U n ) n variables aléatoires indépendantes uniformes sur [0, t] ;
0 = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t p = t ; M k = card{i ≤ n : U i ∈]t k−1 , t k [}. Alors, la loi de
(M 1 , · · · , M p ) est multinomiale (p, q) où q k = t k−t k−1
t
, k = 1, · · · , p.
Preuve
Lemme 3.35 Soit σ variable aléatoire à valeurs dans l’espace des permutations S n de loi
uniforme et indépendante de (T k , k ≥ 1) ; on pose Z k = T σ(k) . Alors, la loi de (Z 1 , · · · , Z n )
sachant {X t = n} est de densité Π j=1,n
1
t 1 [0,t](t j ).
Preuve
•
Ces deux derniers lemmes permettent de montrer :
•
Corollaire 3.36 La loi de (X t1 , · · · , X tp − X tp−1 ) sachant {X t = n} est multinomiale
(p, q) où q k = t k−t k−1
t
.
Preuve :
Preuve du théorème
•
•
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