martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Preuve : 1. On vérifie que pour tout n, X T ∧n est F n mesurable et intégrable :
X T ∧n =
n−1 ∑
k=0
X k 1 {T =k} + X n 1 {T ≥n} ,
c’est donc une somme finie d’éléments de L 1 (Ω, F n , P).
On se sert de cette même décomposition pour montrer que E[X T ∧(n+1) /F n ] = ∑ n
k=0 X k 1 {T =k} +
E[X n+1 /F n ]1 {T >n} .
2. Soit N un entier qui domine les deux temps d’arrêt et Z une variable F S mesurable
et bornée.
N∑
N∑
E[X N .Z] = E[X N .Z1 {S=k} ] = E[X k .Z1 {S=k} ]
k=0
puisque X est une martingale et Z1 {S=k} est F k mesurable. La dernière expression
n’est autre que l’espérance de X S .Z ce qui montre que E[X N /F S ] = X S . De même,
E[X N /F T ] = X T et en combinant les deux expressions et l’inclusion F S ⊂ F T , on obtient
le résultat.
Pour une sous-martingale, on utilise la décomposition de Doob : X n = M n +A n , X T =
M T + A T , E[X T /F S ] = M S + E[A T /F S ] et comme A est croissant, A T est plus grand que
A S donc E[A T /F S ] ≥ A S . On peut utiliser l’équivalence : si X et Y sont B-mesurables,
alors X ≤ Y équivaut ∀B ∈ B, E(X1 B ) ≤ E(Y 1 B ).
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Corollaire 1.13 Soit T n une suite de temps d’arrêt bornés, croissante, alors (X Tn , n ∈ N)
est une (sous,sur) martingale pour la filtration (F Tn , n ∈ N).
Preuve en exercice d’amphi
. X Tn est F Tn mesurable d’après la proposition 1.10 et intégrable comme somme finie de
variables intégrables.
. la suite de tribus F Tn est croissante (cf. proposition 1.10 b)
. puis le théorème d’arrêt.
Corollaire 1.14 Soit (X n , n ∈ N) une F-(sous)martingale et T un F-temps d’arrêt
presque sûrement fini. Alors, si l’une des deux hypothèses suivantes est réalisée :
(i) T est un temps d’arrêt borné.
k=0
(ii) Il existe Y ∈ L 1 telle que pour tout n, |X T ∧n | ≤ Y
alors E[X 0 ](≤) = E[X T ].
Preuve en exercice d’amphi : dans le premier cas, puisque T et 0 sont deux temps
d’arrêt bornés et T ≥ 0, le théorème d’arrêt montre que E(X T /F 0 )(≥) = X 0 , et on prend
l’espérance.
Dans le deuxième cas, on prend d’abord comme temps d’arrêt T ∧ n qui est borné, et
vérifie donc E[X T ∧n ](≥) = E[X 0 ]. L’hypothèse (ii) permet alors d’utiliser le théorème de
Lebesgue de convergence dominée, puisque le fait que T est presque sûrement fini implique
que X T ∧n converge presque sûrement vers X T .
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