martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Première Preuve avec une succession de trois lemmes .
Lemme 3.25 La variable N t est intégrable pour tout t ∈ R + .
Preuve : N t = ∑ n∈N ∗ 1 {Tn≤t}, nombre de sauts avant t.
Donc en utilisant la loi exponentielle des inter-temps de saut, E[N t ] = ∑ n≥1
Soit en permutant somme et intégrale, E[N t ] = λ ∫ [0,t] eλu e −λu du = λt.
∫
[0,t]
u n−1
(n−1)! e−λu λ n du.
•
Lemme 3.26 On a P(N t = 1) = λte −λt , et donc le quotient P{Nt=1}
t
lorsque t tend vers 0.
converge vers λ
Preuve : L’événement (N t = 1) = (T 1 ≤ t < T 2 ) = (S 1 ≤ t < S 1 + S 2 ). On peut donc
calculer cette probabilité avec la loi du couple indépendant (S 1 , S 2 ) de variables exponentielles.
Le calcul donne P(N t = 1) = λte −λt , d’où le résultat.
•
Lemme 3.27 Le quotient P(Nt≥2)
t
converge vers 0 lorsque t tend vers 0.
Preuve : L’événement (N t ≥ 2) = (T 2 ≤ t) = (S 1 + S 2 ≤ t). On peut donc calculer cette
probabilité avec la loi de la somme des deux exponentielles, soit une loi Γ(2, λ).
Ou, plus simplement, si l’on se rappelle que N t est à valeurs entières, P(N t = 0) = P(T >
t) = e −λt , P(N t ≥ 2) = 1 − P(N t = 0) − P(N t = 1).
Le calcul donne P(N t ≥ 2) = 1 − e −λt − λte −λt , d’où le résultat.
•
Preuve du corollaire : on rappelle que la fonction génératrice G t (u) = E[u Nt ] est de la
forme e −C(u)t . Donc,
1 − G t (u)
C(u) = lim .
t→0 t
Par ailleurs, par définition, G t (u) = ∑ n≥0 u n P(N t = n), d’où
1 − G t (u) = 1 − P(N t = 0) − uP(N t = 1) − ∑ n≥2
u n P(N t = n).
Le lemme 3.27 dit que la limite est nulle quand t tend vers 0. Le lemme 3.26 donne
que la limite est C(u) − (λ − λu) = 0. Ainsi on a identifié C(u) = λ(1 − u) ; la fonction
génératrice est G t (u) = e −λ(1−u)t , c’est à dire celle d’une loi de Poisson de paramètre λt. •
On a une deuxième preuve plus rapide de ce corollaire
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