martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

On passe ensuite à n au lieu de T n : soit n entier ; il existe p tel que T p < n ≤ T p+1
car la récurrence montre que la suite de ces temps d’arrêt est croissante et il vient :
avec
∑ n−1
k=0 f(X ∑ Tp−1
k)
∑ n−1
k=0 g(X k) = k=0 f(X k) + ∑ n−1
T p
f(X k )
∑ Tp−1
k=0 g(X k) + ∑ n−1
g(X k ) = u p.k n,p
k n,p =
1 +
1 +
T p
∑ n−1
f(X k )
Tp
∑ Tp−1
k=0 f(X k)
∑ n−1
g(X k )
Tp
∑ Tp−1
k=0 g(X k)
dont la limite est 1 : il suffit de voir par exemple que le numérateur
1 +
1 ∑ n−1
p
1
p
T p
f(X k )
∑ Tp−1
k=0 f(X k)
converge presque sûrement vers 1. Or ce numérateur moins 1 est un quotient de dénominateur
convergeant presque sûrement vers µ(f), et le numérateur est majoré en valeur absolue
par 1 ∑ Tp+1 −1
p T p
|f|(X k ) = 1 p Z|f| p qui tend presque sûrement vers 0. •
Corollaire 2.43 Soit X une chaîne irréductible récurrente de mesure invariante µ et de
loi initiale λ. Le quotient du nombre de visites en y avant n sur le nombre de visites en
x avant n converge P λ presque sûrement vers µ(y)
µ(x) .
Il suffit de prendre f = 1 y et g = 1 x .
Théorème 2.44 Soit X une chaîne irréductible récurrente positive de probabilité invariante
π. Soit f ∈ L 1 (π). Alors presque sûrement
(4)
lim 1 n
n−1 ∑
k=0
f(X k ) = π(f).
Preuve : Si la chaîne est irréductible récurrente positive, µ(E) < ∞, et la probabilité π
existe. Il suffit d’appliquer le théorème précédent avec g = 1.
•
Proposition 2.45 (i) Soit X une chaîne irréductible récurrente positive de probabilité
invariante π. Alors pour tout x ∈ E, le nombre de visites en x avant n converge P λ
presque sûrement
lim 1 n
n−1 ∑
k=0
1 {x} (X k ) = π(x).
(ii) Si X une chaîne irréductible récurrente nulle. Alors pour tout x ∈ E, presque
sûrement :
lim 1 n
n−1 ∑
k=0
1 {x} (X k ) = 0.
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