martingales discrètes, chaines de Markov, processus de Poisson

Corollaire 1.27 Soit M une martingale régulière et S et T deux temps d’arrêt S ≤ T,
alors M S = E[M T /F S ].
Preuve exercice immédiat.
Théorème 1.28 (Neveu page 67-68) Une martingale (ou une sous martingale positive)
bornée dans L p , p > 1, converge dans L p .
Preuve : a) Si M est une sous-martingale positive, on utilise l’inégalité maximale :
‖X ∗ n‖ p ≤
p
p − 1 ‖X n‖ p
qui est borné par hypothèse. Par ailleurs, avec p > 1 X p n est une sous martingale, de
plus positive et bornée dans L 1 donc elle converge presque sûrement vers H p ∈ L 1 . Donc
aussi X n converge presque sûrement vers H ∈ L p . Enfin, X ∗ n est une suite croissante donc
converge presque sûrement, elle est bornée dans L p , donc la limite aussi :
X p n ≤ (X ∗ n) p ≤ (X ∗ ∞) p ∈ L 1
et par le théorème de Lebesgue de convergence dominée, X n converge vers H dans L p .
b) Si X est une martingale bornée dans L p , |X| est une sous martingale positive bornée
dans L p . Par a), il existe Y ∈ L p telle que |X n | converge vers Y presque sûrement et dans
L p . De même X n
+ est une sous martingale positive bornée dans L p et il existe Z ∈ L p telle
que X n + converge vers Z presque sûrement et dans L p . Globalement, X n = 2X n + − |X n |
converge vers 2Z − Y presque sûrement et dans L p .
•
1.6 Martingales renversées
(Neveu pages 115-119)
Sur l’espace de probabilité (Ω, A, P), on considère une suite décroissante de tribus :
(F n , n ∈ N). On note F ∞ = ∩ n F n .
Définition 1.29 Une suite de variables aléatoires (X n , n ∈ N) sur (Ω, A, P) est une
(sous)martingale renversée si pour tout n, X n est F n -mesurable, intégrable, et
E(X n /F n+1 )(≥) = X n+1 .
Ces processus ont des propriétés analogues à celles des martingales comme par exemple (à
faire en TD ou en DM) :
une fonction convexe d’une martingale est une sous-martingale,
l’espérance d’une martingale est constante,
l’espérance d’une sous martingale est décroissante.
Montrons qu’il existe également des décompositions.
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